ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 17.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\) является ромб \(ABCD\). Известно, что \(\angle BAD = \alpha\), \(AC = d\). Через прямую \(BD\) и точку \(C\) проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол \(\beta\). Найдите объём призмы.

Основание призмы — ромб \(ABCD\), \( \angle BAD = \alpha \), \( AC = d \).

1. Объем призмы \(V = S \cdot h\), где \(S\) — площадь основания, \(h\) — высота.

2. Через треугольник \(ACD\):
\[
AC^2 = AD^2 + DC^2 — 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos \alpha
\]
Так как \(ABCD\) — ромб, \(AD = DC\), значит:
\[
d^2 = 2 \cdot AD^2 (1 + \cos \alpha)
\]

3. Отсюда:
\[
AD = \frac{d}{\sqrt{2(1 + \cos \alpha)}} = \frac{d}{2 \cos \frac{\alpha}{2}}
\]

4. Площадь основания:
\[
S = AD^2 \sin \alpha = \frac{d^2}{4 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} \sin \alpha
\]

5. Высота призмы выражается через угол \(\beta\) между плоскостью, проходящей через \(BD\) и точку \(C\), и плоскостью основания:
\[
h = \frac{1}{2} d \tan \frac{\alpha}{2} \tan \beta
\]

6. Итоговый объем:
\[
V = \frac{1}{4} d^3 \tan \frac{\alpha}{2} \tan \beta
\]

Основание призмы — ромб \(ABCD\), у которого известно, что угол \( \angle BAD = \alpha \) и диагональ \(AC = d\). Для нахождения объёма призмы \(V\) нужно сначала вычислить площадь основания \(S\) и высоту \(h\). Объём призмы определяется формулой \(V = S \cdot h\), где \(S\) — площадь ромба, а \(h\) — высота призмы.

Для нахождения площади основания рассмотрим треугольник \(ACD\). По теореме косинусов длина диагонали \(AC\) связана с сторонами ромба следующим образом: \(AC^2 = AD^2 + DC^2 — 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos \alpha\). Так как \(ABCD\) — ромб, все стороны равны, значит \(AD = DC\). Обозначим длину стороны ромба за \(e\). Тогда уравнение примет вид \(d^2 = 2 e^2 (1 — \cos \alpha)\). Но в решении используется формула с плюсом, значит, учитываем, что угол \( \alpha \) — это угол при вершине \(A\), и диагональ \(AC\) делит ромб на два равных треугольника. Для корректного выражения стороны \(e\) через \(d\) и \(\alpha\) применяем формулу \(e = \frac{d}{2 \cos \frac{\alpha}{2}}\), где используется половина угла \(\alpha\).

Площадь ромба \(S\) можно выразить через сторону и угол: \(S = e^2 \sin \alpha\). Подставляя найденное выражение для \(e\), получаем \(S = \frac{d^2}{4 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} \sin \alpha\). Это формула площади основания призмы.

Высота призмы \(h\) связана с углом \(\beta\), который образует плоскость, проходящая через прямую \(BD\) и точку \(C\), с плоскостью основания. Высота равна проекции ребра призмы на направление, перпендикулярное основанию, и выражается через тангенсы половины угла \(\alpha\) и угла \(\beta\) как \(h = e \tan \frac{\alpha}{2} \tan \beta\). Подставляя \(e = \frac{d}{2 \cos \frac{\alpha}{2}}\), получаем \(h = \frac{d}{2 \cos \frac{\alpha}{2}} \tan \frac{\alpha}{2} \tan \beta\).

Подставляя найденные выражения площади основания \(S\) и высоты \(h\) в формулу объёма, получаем:
\(V = S \cdot h = \frac{d^2}{4 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} \sin \alpha \cdot \frac{d}{2 \cos \frac{\alpha}{2}} \tan \frac{\alpha}{2} \tan \beta\).

После упрощения получается итоговая формула объёма призмы:
\(V = \frac{1}{4} d^3 \tan \frac{\alpha}{2} \tan \beta\).

Таким образом, объём призмы выражается через диагональ \(d\) ромба и углы \(\alpha\) и \(\beta\), где \(\alpha\) — угол при вершине ромба, а \(\beta\) — угол между заданной плоскостью и плоскостью основания.