ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 17.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы \(ABCA_1 B_1 C_1\) является треугольник \(ABC\). Известно, что \(\angle ACB = 90^\circ\), \(\angle ABC = \beta\), \(AB = c\). Плоскость \(ABC\) образует с плоскостью основания призмы угол \(\alpha\). Найдите объём призмы.

Основание призмы — треугольник \(ABC\) с прямым углом при \(C\), \( \angle ACB = 90^\circ \), \( \angle ABC = \beta \), \( AB = c \).

Косинус угла \(\beta\):
\(\cos \beta = \frac{CB}{c} \Rightarrow CB = c \cos \beta\).

Синус угла \(\beta\):
\(\sin \beta = \frac{AC}{c} \Rightarrow AC = c \sin \beta\).

Площадь основания \(S\):
\(S = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} c \sin \beta \cdot c \cos \beta = \frac{1}{2} c^2 \sin \beta \cos \beta\).

Высота призмы \(h\) связана с углом \(\alpha\) между плоскостью основания и плоскостью \(ABC\):
\(h = AC \tan \alpha = c \sin \beta \tan \alpha\).

Объём призмы \(V = S \cdot h\):
\(V = \frac{1}{4} c^2 \sin \beta \cos \beta \cdot c \sin \beta \tan \alpha = \frac{1}{4} c^3 \sin^2 \beta \cos \beta \tan \alpha\).

Основание призмы — треугольник \(ABC\), в котором угол при вершине \(C\) прямой, то есть \( \angle ACB = 90^\circ \). Из условия известно, что \( \angle ABC = \beta \), а длина стороны \(AB = c\). Это значит, что треугольник \(ABC\) является прямоугольным с гипотенузой \(AB\) и катетами \(AC\) и \(BC\). Для нахождения длин катетов воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Так как угол \( \beta = \angle ABC \), то по определению косинуса и синуса этого угла можно выразить стороны \(BC\) и \(AC\) через \(c\), используя формулы: \(\cos \beta = \frac{CB}{c}\) и \(\sin \beta = \frac{AC}{c}\). Отсюда получаем, что \(CB = c \cos \beta\) и \(AC = c \sin \beta\). Эти выражения позволяют нам найти точные значения катетов треугольника, зная только гипотенузу и угол \(\beta\).

Далее вычисляем площадь основания призмы, которая равна площади треугольника \(ABC\). Площадь треугольника с прямым углом равна половине произведения катетов: \(S = \frac{1}{2} AC \cdot BC\). Подставляя найденные значения катетов, получаем \(S = \frac{1}{2} c \sin \beta \cdot c \cos \beta = \frac{1}{2} c^{2} \sin \beta \cos \beta\). Теперь, чтобы найти объём призмы, нужно умножить площадь основания на высоту призмы. Высота призмы связана с углом \(\alpha\) между плоскостью основания и плоскостью \(ABC\). Высота равна \(h = AC \tan \alpha = c \sin \beta \tan \alpha\).

Объём призмы вычисляется по формуле \(V = S \cdot h\). Подставляем все известные выражения: \(V = \frac{1}{4} c^{2} \sin \beta \cos \beta \cdot c \sin \beta \tan \alpha\). Упрощая, получаем \(V = \frac{1}{4} c^{3} \sin^{2} \beta \cos \beta \tan \alpha\). Таким образом, объём призмы выражается через длину стороны \(c\), угол \(\beta\) основания и угол \(\alpha\) между плоскостями, что полностью соответствует условию задачи и решению на фото.