ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 17.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площади трёх граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равны \(S_1\), \(S_2\) и \(S_3\). Найдите объём параллелепипеда.

Обозначим стороны параллелепипеда через \(a\), \(b\), \(c\).

Площади трёх граней, имеющих общую вершину:
\(S_1 = ab\), \(S_2 = bc\), \(S_3 = ac\).

Объём параллелепипеда:
\(V = abc\).

Выразим объём через площади граней:

\(V = \sqrt{S_1 \cdot S_2 \cdot S_3}\).

Пусть стороны прямоугольного параллелепипеда, имеющего три грани с общей вершиной, равны \(a\), \(b\) и \(c\). Тогда площади этих трёх граней, которые прилегают к одной вершине, будут равны произведениям соответствующих пар сторон: \(S_1 = ab\), \(S_2 = bc\), \(S_3 = ac\). Это следует из того, что каждая грань является прямоугольником с длинами сторон, равными двум из трёх измерений параллелепипеда.

Объём параллелепипеда определяется произведением всех трёх его измерений: \(V = abc\). Чтобы выразить объём через известные площади граней, нужно найти способ связать \(abc\) с \(S_1\), \(S_2\) и \(S_3\). Для этого перемножим площади трёх граней: \(S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = (ab)(bc)(ac) = a^2 b^2 c^2\).

Из выражения \(S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = a^2 b^2 c^2\) можно извлечь корень квадратный, чтобы получить \(abc\): \(abc = \sqrt{S_1 \cdot S_2 \cdot S_3}\). Таким образом, объём параллелепипеда равен корню квадратному из произведения площадей трёх граней, имеющих общую вершину.

Итоговая формула для объёма параллелепипеда:

\(V = \sqrt{S_1 \cdot S_2 \cdot S_3}\).