ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 17.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковое ребро наклонного параллелепипеда \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\) равно 8 см, расстояние между прямыми \(AA_1\) и \(BB_1\) — \(5\sqrt{3}\) см, между прямыми \(AA_1\) и \(DD_1\) — 4 см, а двугранный угол параллелепипеда при ребре \(AA_1\) равен 60°. Найдите объём параллелепипеда.

Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Площадь основания равна произведению расстояния между прямыми \(AA_1\) и \(BB_1\) на расстояние между прямыми \(AA_1\) и \(DD_1\), умноженному на синус двугранного угла:

\(S = 5\sqrt{3} \times 4 \times \sin 60^\circ = 5\sqrt{3} \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\).

Высота равна длине бокового ребра, то есть \(h = 8\).

Объём:

\(V = S \times h = 30 \times 8 = 240 \, \text{см}^3\).

Объём параллелепипеда вычисляется как произведение площади основания на высоту. В данном случае основание — это параллелограмм, образованный в основании параллелепипеда, а высота — это длина бокового ребра \(AA_1\), равная 8 см.

Для вычисления площади основания нужно найти длины двух смежных сторон основания и угол между ними. Из условия известно, что расстояние между прямыми \(AA_1\) и \(BB_1\) равно \(5\sqrt{3}\) см, а расстояние между прямыми \(AA_1\) и \(DD_1\) равно 4 см. Эти расстояния являются длинами сторон основания. Двугранный угол при ребре \(AA_1\) равен 60°, и именно этот угол образуют стороны основания, так как он задаёт наклон бокового ребра к основанию.

Площадь основания вычисляется по формуле площади параллелограмма: \(S = ab \sin \theta\), где \(a = 5\sqrt{3}\), \(b = 4\), а \(\theta = 60^\circ\). Подставляем значения:

\(S = 5\sqrt{3} \times 4 \times \sin 60^\circ = 5\sqrt{3} \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \times 4 \times \frac{3}{2} = 30\).

Высота параллелепипеда соответствует длине бокового ребра и равна 8 см. Тогда объём вычисляется как произведение площади основания на высоту:

\(V = S \times h = 30 \times 8 = 240 \, \text{см}^3\).