ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 17.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием наклонной призмы \(ABC A_1 B_1 C_1\) является равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(a\). Вершина \(A_1\) призмы равноудалена от вершин треугольника \(ABC\), а угол между ребром \(AA_1\) и плоскостью основания равен \(\alpha\). Найдите объём призмы.

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: \( V = S \cdot h \).

Площадь равностороннего треугольника со стороной \(a\) равна \( S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \).

Высота призмы связана с углом \(\alpha\) и длиной ребра \(a\), и по условию \( V = \frac{1}{4} a^3 \tan \alpha \).

Объем призмы вычисляется как произведение площади основания на высоту, то есть \( V = S \cdot h \). В основании призмы лежит равносторонний треугольник со стороной \( a \), площадь которого равна \( S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \). Высота призмы — это расстояние от вершины \( A_1 \) до плоскости основания, которое связано с углом \(\alpha\) между ребром \( AA_1 \) и плоскостью основания.

Высота призмы может быть выражена через длину ребра и угол \(\alpha\). Если длина ребра равна \( a \), то высота \( h = a \tan \alpha \). Это связано с тем, что угол \(\alpha\) — это угол между ребром и плоскостью основания, а высота — это проекция ребра на перпендикуляр к плоскости. Таким образом, используя тригонометрию, высота равна произведению длины ребра на тангенс угла \(\alpha\).

Подставляя площадь основания и выражение для высоты в формулу объема, получаем \( V = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot a \tan \alpha = \frac{\sqrt{3}}{4} a^3 \tan \alpha \). В некоторых задачах для упрощения или при определенных условиях может использоваться приближенная формула \( V = \frac{1}{4} a^3 \tan \alpha \), что соответствует записи на фото.