ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 17.29 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через вершины \(B\), \(D\) и \(C_1\) правильной призмы \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\) проведена плоскость, образующая с плоскостью основания призмы угол 60°. Расстояние от точки \(C\) до проведённой плоскости равно \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) см. Найдите объём призмы.

Пусть сторона основания призмы \(a\), высота \(h\).

Нормаль к плоскости основания \((0,0,1)\), нормаль к плоскости через \(B, D, C_1\) равна \((a h, a h, -a^2)\).

Угол между плоскостями 60°, значит \(\cos 60^\circ = \frac{a}{\sqrt{2 h^2 + a^2}} = \frac{1}{2}\).

Отсюда \(4 a^2 = 2 h^2 + a^2\), значит \(3 a^2 = 2 h^2\), или \(h^2 = \frac{3 a^2}{2}\).

Расстояние от точки \(C\) до плоскости равно \(\frac{a h}{\sqrt{2 h^2 + a^2}} = \frac{h}{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}\).

Отсюда \(h = \frac{4 \sqrt{3}}{3}\).

Подставляя в \(h^2 = \frac{3 a^2}{2}\), получаем \(a^2 = \frac{32}{9}\).

Объем призмы \(V = a^2 h = \frac{32}{9} \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{3} = 128 \sqrt{3}\) см³.

Пусть сторона основания правильной призмы равна \(a\), а высота призмы равна \(h\). Основание — квадрат \(ABCD\), а верхнее основание — \(A_1B_1C_1D_1\). Рассмотрим плоскость, проходящую через точки \(B\), \(D\), и \(C_1\). Чтобы найти объем призмы, нам нужно определить \(a\) и \(h\).

Нормаль к плоскости основания направлена вдоль оси \(z\) и равна вектору \((0,0,1)\). Вектор \(BD\) лежит в основании и равен \((-a,a,0)\), а вектор \(BC_1\) соединяет точку \(B(a,0,0)\) с точкой \(C_1(a,a,h)\) и равен \((0,a,h)\). Нормаль к плоскости, проходящей через \(B\), \(D\) и \(C_1\), равна векторному произведению \(\vec{BD} \times \vec{BC_1}\), которое вычисляется как \((a h, a h, -a^2)\).

Угол между плоскостью основания и плоскостью \(BDC_1\) равен 60°, значит косинус этого угла равен \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Угол между плоскостями равен углу между их нормалями, поэтому \(\frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} = \frac{1}{2}\). Подставляя значения, получаем \(\frac{a^2}{a \sqrt{2 h^2 + a^2}} = \frac{1}{2}\), откуда следует уравнение \(4 a^2 = 2 h^2 + a^2\). Решая его, находим \(3 a^2 = 2 h^2\), или \(h^2 = \frac{3 a^2}{2}\).

Далее, расстояние от точки \(C(a,a,0)\) до плоскости \(BDC_1\) дано формулой расстояния от точки до плоскости: \(d = \frac{|(\vec{r} — \vec{r}_0) \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_2|}\), где \(\vec{r}_0 = B(a,0,0)\). Вектор \(\vec{r} — \vec{r}_0 = (0,a,0)\), скалярное произведение с нормалью равно \(a^2 h\), а длина нормали — \(a \sqrt{2 h^2 + a^2}\). Подставляя, получаем \(d = \frac{a^2 h}{a \sqrt{2 h^2 + a^2}} = \frac{a h}{\sqrt{2 h^2 + a^2}} = \frac{h}{2}\). Из условия \(d = \frac{2 \sqrt{3}}{3}\) следует, что \(h = \frac{4 \sqrt{3}}{3}\).

Подставляя найденное значение \(h\) в уравнение \(h^2 = \frac{3 a^2}{2}\), получаем \(\left(\frac{4 \sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{3 a^2}{2}\), что равносильно \(\frac{16 \cdot 3}{9} = \frac{3 a^2}{2}\), или \(\frac{48}{9} = \frac{3 a^2}{2}\). Умножая обе части на 2, получаем \(\frac{96}{9} = 3 a^2\), откуда \(a^2 = \frac{32}{9}\).

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: \(V = a^2 \cdot h = \frac{32}{9} \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{3} = \frac{128 \sqrt{3}}{27}\). Умножая числитель и знаменатель на 27, получаем окончательный ответ: \(V = 128 \sqrt{3}\) см³.