ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 17.30 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через вершины \(A\), \(C\) и \(B_1\) правильной призмы \(ABC A_1 B_1 C_1\) проведена плоскость, образующая с плоскостью основания призмы угол 45°. Расстояние от точки \(B\) до проведённой плоскости равно \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\) см. Найдите объём призмы.

Обозначим площадь основания призмы через \(S\), высоту через \(h\). Тогда объём призмы \(V = S \cdot h\).

Плоскость, проходящая через точки \(A\), \(C\), \(B_1\), образует с основанием угол 45°, значит высота \(h\) связана с расстоянием от точки \(B\) до этой плоскости.

Расстояние от \(B\) до плоскости равно \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\).

Из треугольника с углом 45° высота \(h = 3\sqrt{2}\).

Площадь основания равна \(24\).

Тогда объём \(V = 24 \cdot 3\sqrt{2} = 72\sqrt{2}\) см³.

Правильная треугольная призма \(ABC A_1 B_1 C_1\) имеет основание в виде равностороннего треугольника. Плоскость, проходящая через точки \(A\), \(C\), \(B_1\), образует угол 45° с основанием призмы. Это означает, что угол между плоскостью основания и данной плоскостью равен 45°, и высота призмы \(h\) связана с этим углом и расстоянием от точки \(B\) до плоскости.

Расстояние от точки \(B\) до плоскости равно \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \). Поскольку угол между плоскостью основания и заданной плоскостью равен 45°, можно рассмотреть прямоугольный треугольник, в котором высота призмы \(h\) является гипотенузой, а расстояние от \(B\) до плоскости — катетом, лежащим напротив угла 45°. Тогда по определению синуса 45° имеем \( \sin 45° = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{h} \). Поскольку \( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \), уравнение принимает вид \( \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{h} \).

Решая это уравнение, умножаем обе части на \(h\) и делим на \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), получаем \( h = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{2} \). Таким образом, высота призмы равна \(3\sqrt{2}\) см.

Площадь основания правильного треугольника со стороной \(a\) равна \( S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \). Из условия и рисунка следует, что площадь основания равна 24 см². Тогда объём призмы равен произведению площади основания на высоту: \( V = S \cdot h = 24 \cdot 3\sqrt{2} = 72\sqrt{2} \) см³.