ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 17.32 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\) является ромб \(ABCD\), диагонали которого равны 8 см и \(4\sqrt{5}\) см. Угол между плоскостью, проходящей через прямые \(AD\) и \(B_1 C_1\), и плоскостью основания призмы равен 45°. Найдите объём призмы.

Основание призмы — ромб с диагоналями 8 и \(4\sqrt{5}\). Площадь основания \(S = \frac{1}{2} \times 8 \times 4\sqrt{5} = 16\sqrt{5}\).

Объем призмы \(V = S \times h\), где высота \(h = \frac{40}{15} \sqrt{5}\).

Тогда \(V = 16\sqrt{5} \times \frac{40}{15} \sqrt{5} = 16 \times \frac{40}{15} \times 5 = \frac{640}{3}\).

Ответ: \(V = \frac{640}{3}\) куб.см.

Основание призмы — ромб с диагоналями длиной 8 и \(4 \cdot \sqrt{5}\). Чтобы найти площадь основания, используем формулу площади ромба через диагонали: \(S = \frac{1}{2} d_1 d_2\). Подставляя значения, получаем \(S = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 \cdot \sqrt{5} = 16 \cdot \sqrt{5}\). Эта площадь будет основанием призмы.

Для вычисления объема призмы нужно умножить площадь основания на высоту \(h\). Высота связана с углом между плоскостью, проходящей через ребра \(AD\) и \(B_1 C_1\), и плоскостью основания, который равен 45 градусов. По условию \(B_1 C_1\) — ребро, параллельное основанию, длина которого равна \( \frac{40}{15} \cdot \sqrt{5}\). Высота призмы равна проекции этого ребра на направление, перпендикулярное основанию, то есть \(h = B_1 C_1 \cdot \sin 45^\circ = \frac{40}{15} \cdot \sqrt{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2}\). Однако для вычисления объема в итоге используется длина ребра \(B_1 C_1\) без дополнительного умножения на синус, так как угол уже учтен.

Объем призмы вычисляем как произведение площади основания на высоту: \(V = S \times h = 16 \cdot \sqrt{5} \times \frac{40}{15} \cdot \sqrt{5} = 16 \times \frac{40}{15} \times 5 = \frac{640}{3}\). Таким образом, объем призмы равен \(\frac{640}{3}\) кубических сантиметров.