ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 17.34 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота наклонной призмы \(ABC A_1 B_1 C_1\) равна \(6\sqrt{2}\) см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Площадь грани \(AA_1 B_1 B\) равна 36 см\(^2\), грани \(AA_1 C_1 C\) — 48 см\(^2\), а двугранный угол призмы при ребре \(AA_1\) равен 120°. Найдите объём призмы.

Высота призмы \(H = 6\sqrt{2}\) см.

Площадь боковой грани \(S_1 = 36\) см\(^2\), другая грань \(S_2 = 48\) см\(^2\), двугранный угол при ребре \(120^\circ\).

Объём призмы вычисляем как \(V = S \times H\), где \(S\) — площадь основания.

Используем формулу для площади основания с учётом двугранного угла:

\(S = \sqrt{S_1 \times S_2 \times \sin 120^\circ} = \sqrt{36 \times 48 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = 3 \sqrt{6}\).

Тогда объём:

\(V = 3 \sqrt{6} \times 6 \sqrt{2} = 36 \sqrt{3}\) см\(^3\).

Высота призмы \(H = 6 \sqrt{2}\) см дана, это расстояние между основаниями призмы. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°, что означает, что высота связана с длиной этого ребра через тригонометрические соотношения. Площади боковых граней \(AA_1 B_1 B\) и \(AA_1 C_1 C\) равны 36 см² и 48 см² соответственно. Эти боковые грани являются параллелограммами, у которых одна сторона — боковое ребро высотой \(H\), а другая — ребра основания \(AB\) и \(AC\).

Поскольку двугранный угол при ребре \(AA_1\) равен 120°, площади боковых граней связаны через угол между ними. Для вычисления площади основания \(S\) используем формулу площади параллелограмма с учётом угла: \(S = \sqrt{S_1 \times S_2 \times \sin 120^\circ}\). Подставляем значения: \(S = \sqrt{36 \times 48 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{1728 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = 3 \sqrt{6}\) см².

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: \(V = S \times H = 3 \sqrt{6} \times 6 \sqrt{2} = 18 \sqrt{12} = 36 \sqrt{3}\) см³. Таким образом, объём призмы равен \(36 \sqrt{3}\) кубических сантиметров.