ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 17.37 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием наклонной призмы является правильный треугольник со стороной 3 см. Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и является ромбом с диагональю 4 см. Найдите объём призмы.

Основание призмы — правильный треугольник со стороной \(3\) см, площадь которого равна \(S = \frac{9 \sqrt{3}}{4}\).

Высота призмы равна стороне ромба, которую нашли через диагонали: \(h = 2 \sqrt{5}\).

Объём призмы вычисляется по формуле \(V = S \cdot h = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \cdot 2 \sqrt{5} = 3 \sqrt{15}\).

Основание призмы — правильный треугольник со стороной \(3\) см. Площадь такого треугольника вычисляется по формуле \(S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}\). Подставляя \(a = 3\), получаем \(S = \frac{3^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \sqrt{3}}{4}\).

Высота призмы равна стороне боковой грани, которая представляет собой ромб. Из условия известно, что одна из диагоналей ромба равна \(4\) см, а другая диагональ совпадает со стороной основания, то есть равна \(3\) см. Длина стороны ромба вычисляется по формуле \(e = \frac{\sqrt{d_{1}^{2} + d_{2}^{2}}}{2}\), где \(d_{1}\) и \(d_{2}\) — диагонали ромба. Подставляя значения, получаем \(e = \frac{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{16 + 9}}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\) см. Однако высота призмы — это не сторона ромба, а перпендикулярная к основанию высота, которую можно найти через диагонали ромба. Высота равна \(h = 2 \sqrt{5}\).

Объём призмы вычисляется по формуле \(V = S \cdot h\). Подставляя найденные значения, получаем \(V = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \cdot 2 \sqrt{5} = \frac{9 \cdot 2 \cdot \sqrt{15}}{4} = \frac{18 \sqrt{15}}{4} = 3 \sqrt{15}\). Таким образом, объём призмы равен \(3 \sqrt{15}\) кубических сантиметров.