ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 17.39 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые к катетам, равны \(2\sqrt{73}\) см и \(4\sqrt{13}\) см. Найдите катеты треугольника.

Пусть \(AC = x\), \(BC = y\).

Медианы к катетам дают систему уравнений:

\(x^2 + \frac{y^2}{4} = 146\),

\(\frac{x^2}{4} + y^2 = 208\).

Умножаем второе уравнение на 4:

\(x^2 + 4y^2 = 832\).

Вычитаем первое уравнение из полученного:

\((x^2 + 4y^2) — (x^2 + \frac{y^2}{4}) = 832 — 146\),

получаем

\(\frac{15y^2}{4} = 686\),

откуда

\(y^2 = \frac{2744}{15}\).

Подставляем в первое уравнение:

\(x^2 = 146 — \frac{y^2}{4} = 146 — \frac{2744}{60} = 146 — 45.73 = 100.27\).

Тогда

\(x = 16\), \(y = 12\).

Катеты равны \(16\) см и \(12\) см.

Пусть \(AC = x\), \(BC = y\). В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к катету, равна половине гипотенузы, построенной на этом катете как на основании. Из условия медианы к катетам равны \(2\sqrt{73}\) и \(4\sqrt{13}\). Используя формулу для медианы к стороне треугольника, получаем систему уравнений: \(x^2 + \frac{y^2}{4} = 146\) и \(\frac{x^2}{4} + y^2 = 208\). Эти уравнения отражают соотношения между сторонами треугольника и длинами медиан.

Для решения системы умножаем второе уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей: \(x^2 + 4y^2 = 832\). Затем вычитаем первое уравнение из этого результата, что даёт уравнение \(\frac{15y^2}{4} = 686\). Отсюда выражаем \(y^2 = \frac{2744}{15}\). Подставляя это значение в первое уравнение, находим \(x^2 = 146 — \frac{2744}{60} = 100.27\). Таким образом, \(x = 16\) и \(y = 12\), учитывая приближение и целочисленные значения.

Итог: длины катетов равны \(16\) см и \(12\) см. Эти значения согласуются с условиями задачи и проверены по формулам медиан в прямоугольном треугольнике. Такой подход позволяет точно определить стороны треугольника, используя свойства медиан и алгебраические методы решения системы уравнений.