ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 17.40 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = BC = 7,5\) см, \(AC = 12\) см. Найдите расстояние от вершины \(B\) до ортоцентра треугольника \(ABC\).

В треугольнике \(ABC\) \(BH = AC \cdot \cot \angle B\).

По теореме косинусов \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\).

Подставляем: \(144 = 56{,}25 + 56{,}25 — 112{,}5 \cdot \cos \angle B\).

Получаем \(\cos \angle B = -0{,}78\).

Вычисляем \(\sin \angle B = \sqrt{1 — 0{,}6084} = \sqrt{\frac{979}{2500}}\).

Находим \(BH = 7{,}5 \cdot \frac{\sin \angle B}{\cos \angle B} = 3{,}5\).

В треугольнике \(ABC\) известно, что стороны \(AB\) и \(BC\) равны 7,5 см, а сторона \(AC\) равна 12 см. Для нахождения расстояния от вершины \(B\) до ортоцентра \(H\) нужно использовать свойства высот и тригонометрические соотношения. Высота, опущенная из вершины \(B\), равна \(BH\), и её можно выразить через сторону \(AC\) и угол при вершине \(B\) с помощью формулы \(BH = AC \cdot \cot \angle B\).

Чтобы найти угол \(B\), применим теорему косинусов, которая гласит, что квадрат стороны \(AC\) равен сумме квадратов сторон \(AB\) и \(BC\) минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Запишем это как \(AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\). Подставляя известные значения, получаем \(12^{2} = 7{,}5^{2} + 7{,}5^{2} — 2 \cdot 7{,}5 \cdot 7{,}5 \cdot \cos \angle B\). Это даёт уравнение \(144 = 56{,}25 + 56{,}25 — 112{,}5 \cdot \cos \angle B\), откуда \(144 = 112{,}5 — 112{,}5 \cdot \cos \angle B\). Перегруппируем и найдём \(\cos \angle B = \frac{112{,}5 — 144}{112{,}5} = -\frac{31{,}5}{112{,}5} = -0{,}28\).

Далее вычислим синус угла \(B\) по формуле \(\sin \angle B = \sqrt{1 — \cos^{2} \angle B}\). Подставляя значение \(\cos \angle B = -0{,}28\), получаем \(\sin \angle B = \sqrt{1 — (-0{,}28)^{2}} = \sqrt{1 — 0{,}0784} = \sqrt{0{,}9216} = 0{,}96\). Теперь найдём котангенс угла \(B\), который равен отношению косинуса к синусу: \(\cot \angle B = \frac{\cos \angle B}{\sin \angle B} = \frac{-0{,}28}{0{,}96} = -0{,}29\). Модуль этого значения равен 0,29, так как расстояние не может быть отрицательным.

Подставляя в формулу для высоты, получаем \(BH = AC \cdot |\cot \angle B| = 12 \cdot 0{,}29 = 3{,}5\) см. Таким образом, расстояние от вершины \(B\) до ортоцентра \(H\) равно 3,5 см.