ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 17.41 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны векторы \(\vec{m} (3; -2; p)\) и \(\vec{n} (-9; 6; -12)\).

1) При каком значении \(p\) векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) коллинеарны?

2) При каком значении \(p\) вектор \(\vec{m}\) будет перпендикулярен оси \(z\)?

3) Найдите уравнение плоскости, которая содержит ось \(z\) и перпендикулярна вектору \(\vec{m}\).

Векторы коллинеарны, если \(\frac{3}{-9} = \frac{-2}{6} = \frac{p}{-12}\). Отсюда \(p = \frac{12}{3} = 4\).

Вектор \(\vec{m}\) перпендикулярен оси \(z\), если \(p = 0\).

Уравнение плоскости, содержащей ось \(z\) и перпендикулярной \(\vec{m}\), имеет вид \(3x — 2y = 0\).

Векторы \(\vec{m} = (3, -2, p)\) и \(\vec{n} = (-9, 6, -12)\) коллинеарны, если существует число \(\lambda\), при котором выполняется равенство по всем координатам: \(3 = -9 \lambda\), \(-2 = 6 \lambda\), \(p = -12 \lambda\). Из первого равенства находим \(\lambda = \frac{3}{-9} = -\frac{1}{3}\). Проверяем второе равенство: \(6 \times -\frac{1}{3} = -2\), что совпадает с заданным значением. Подставляя \(\lambda\) в третье равенство, получаем \(p = -12 \times -\frac{1}{3} = 4\).

Для того чтобы вектор \(\vec{m}\) был перпендикулярен оси \(z\), нужно, чтобы его скалярное произведение с вектором оси \(z\), равным \((0, 0, 1)\), было равно нулю. Скалярное произведение считается как сумма произведений соответствующих координат: \(3 \times 0 + (-2) \times 0 + p \times 1 = p\). Следовательно, условие перпендикулярности к оси \(z\) требует, чтобы \(p = 0\).

Плоскость, содержащая ось \(z\), должна включать все точки вида \((0, 0, z)\), поэтому уравнение плоскости в общем виде \(Ax + By + Cz + D = 0\) при подстановке этих точек даёт \(C z + D = 0\) для всех \(z\), что возможно только если \(C = 0\) и \(D = 0\). Значит, уравнение плоскости принимает вид \(Ax + By = 0\). Поскольку плоскость перпендикулярна вектору \(\vec{m} = (3, -2, p)\), её нормальный вектор \(\vec{n} = (A, B, 0)\) должен удовлетворять условию перпендикулярности: \(3 A — 2 B = 0\). Выбирая \(A = 3\), \(B = 2\), получаем уравнение плоскости \(3 x — 2 y = 0\).