ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 17.6 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите объём правильной четырёхугольной призмы, сторона основания которой равна \(a\), а угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен \(\alpha\).

Дано: правильная четырёхугольная призма со стороной основания \(a\), угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен \(\alpha\).

1. Диагональ основания \(BD = a \sqrt{2}\).

2. Тангенс угла \(\alpha\) равен отношению высоты призмы \(BB_1\) к диагонали основания \(BD\):

\(\tan \alpha = \frac{BB_1}{BD}\), отсюда \(BB_1 = BD \cdot \tan \alpha = a \sqrt{2} \cdot \tan \alpha\).

3. Объём призмы равен площади основания, умноженной на высоту:

\(V = a^2 \cdot BB_1 = a^2 \cdot a \sqrt{2} \cdot \tan \alpha = a^3 \sqrt{2} \tan \alpha\).

Рассмотрим правильную четырёхугольную призму, у которой сторона основания равна \( a \). Основание — квадрат со стороной \( a \), поэтому диагональ основания \( BD \) находится по формуле диагонали квадрата: \( BD = a \sqrt{2} \). Это важно, так как диагональ основания является одной из сторон треугольника, в котором мы будем вычислять высоту призмы.

Угол \( \alpha \) задан как угол между диагональю призмы \( BB_1 \) и плоскостью основания. Высота призмы — это отрезок \( BB_1 \), перпендикулярный основанию. По определению тангенса угла \( \alpha \), он равен отношению противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике, образованном высотой призмы, диагональю основания и диагональю призмы. Таким образом, \( \tan \alpha = \frac{BB_1}{BD} \), откуда высота призмы выражается как \( BB_1 = BD \tan \alpha = a \sqrt{2} \tan \alpha \).

Объём призмы равен площади основания, умноженной на высоту. Площадь основания — квадрат со стороной \( a \), значит \( S = a^2 \). Высота равна \( BB_1 = a \sqrt{2} \tan \alpha \). Следовательно, объём призмы будет равен произведению площади основания на высоту: \( V = a^2 \cdot a \sqrt{2} \tan \alpha = a^3 \sqrt{2} \tan \alpha \). Это и есть искомый объём правильной четырёхугольной призмы при заданных условиях.