ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 17.7 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота правильной треугольной призмы равна \(h\), а диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Найдите объём призмы.

Обозначим сторону основания правильной треугольной призмы через \(a\).

Площадь основания \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\).

Диагональ боковой грани \(d\) образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Тогда из прямоугольного треугольника, образованного высотой \(h\), стороной основания \(a\) и диагональю \(d\), имеем

\(\tan \alpha = \frac{h}{a}\), откуда \(a = \frac{h}{\tan \alpha}\).

Объём призмы \(V = S \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 h = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{h}{\tan \alpha}\right)^2 h = \frac{\sqrt{3}}{4} h^3 \cot^2 \alpha\).

Для начала рассмотрим правильную треугольную призму, у которой основание — правильный треугольник со стороной \(a\). Площадь такого основания вычисляется по формуле \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}\). Это стандартная формула для площади равностороннего треугольника, где \(\sqrt{3}\) возникает из соотношений между сторонами и высотой треугольника.

Далее, в условии сказано, что диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Рассмотрим боковую грань — это прямоугольник с высотой \(h\) и основанием \(a\). Диагональ этой грани \(d\) соединяет вершину основания с вершиной верхнего основания, проходя через боковую грань. По теореме Пифагора, диагональ боковой грани равна \(d = \sqrt{h^{2} + a^{2}}\). Угол \(\alpha\) между диагональю и плоскостью основания можно выразить через тангенс: \(\tan \alpha = \frac{h}{a}\), так как диагональ поднимается на высоту \(h\) относительно основания длиной \(a\).

Из равенства \(\tan \alpha = \frac{h}{a}\) выразим сторону основания \(a\): \(a = \frac{h}{\tan \alpha}\). Теперь подставим это значение стороны \(a\) в формулу площади основания: \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{h}{\tan \alpha}\right)^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} h^{2} \cot^{2} \alpha\). Объём призмы равен произведению площади основания на высоту, то есть \(V = S \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{4} h^{2} \cot^{2} \alpha \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{4} h^{3} \cot^{2} \alpha\). Таким образом, объём призмы выражается через высоту \(h\) и угол \(\alpha\) как \(V = \frac{\sqrt{3}}{4} h^{3} \cot^{2} \alpha\).