ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 17.9 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Рёбра прямоугольного параллелепипеда пропорциональны числам 2, 3 и 6, а его диагональ равна 14 см. Найдите объём параллелепипеда.

Рёбра пропорциональны 2, 3 и 6, значит \(a=2x\), \(b=3x\), \(c=6x\).

Диагональ: \(c^2 = a^2 + b^2 + c^2\), тогда

\(14^2 = (2x)^2 + (3x)^2 + (6x)^2\),

\(196 = 4x^2 + 9x^2 + 36x^2\),

\(196 = 49x^2\),

\(x^2 = 4 \Rightarrow x = 2\).

Длины рёбер: \(a=4\), \(b=6\), \(c=12\).

Объём параллелепипеда:

\(V = a \cdot b \cdot c = 4 \cdot 6 \cdot 12 = 288 \text{ см}^3\).

Рёбра прямоугольного параллелепипеда пропорциональны числам 2, 3 и 6, значит длины рёбер можно выразить через одну переменную \(x\) как \(a = 2x\), \(b = 3x\), \(c = 6x\). Это значит, что все рёбра связаны между собой через коэффициент пропорциональности \(x\), который нам нужно найти.

Далее используем формулу для диагонали прямоугольного параллелепипеда. Диагональ \(d\) связана с рёбрами следующим равенством: \(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\). Подставляем наши выражения: \(14^2 = (2x)^2 + (3x)^2 + (6x)^2\). Раскрываем скобки и возводим в квадрат: \(196 = 4x^2 + 9x^2 + 36x^2\). Складываем подобные члены: \(196 = 49x^2\). Теперь решаем уравнение относительно \(x^2\): \(x^2 = \frac{196}{49} = 4\). Из этого находим \(x = 2\), так как длина ребра положительна.

Теперь, зная значение \(x\), вычисляем конкретные длины рёбер: \(a = 2 \cdot 2 = 4\), \(b = 3 \cdot 2 = 6\), \(c = 6 \cdot 2 = 12\). Объём параллелепипеда находится по формуле \(V = a \cdot b \cdot c\). Подставляем значения: \(V = 4 \cdot 6 \cdot 12 = 288\) кубических сантиметров. Это и есть искомый объём параллелепипеда.