ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.1 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите объём пирамиды:

1) основанием которой является квадрат со стороной 2 см, а высота пирамиды равна 2 см;

2) основанием которой является ромб с диагоналями 2 см и 3 см, а высота пирамиды равна 10 см;

3) основанием которой является треугольник со сторонами 6 см и 9 см и углом 30° между ними, а высота пирамиды равна 12 см.

Объём пирамиды \(V = \frac{1}{3} S h\).

1) Основание — квадрат со стороной 2, площадь \(S = 2^2 = 4\).
\(V = \frac{1}{3} \times 4 \times 2 = \frac{8}{3}\) см³.

2) Основание — ромб с диагоналями 2 и 3, площадь \(S = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3\).
\(V = \frac{1}{3} \times 3 \times 10 = 10\) см³.

3) Основание — треугольник со сторонами 6 и 9, угол 30°, площадь \(S = \frac{1}{2} \times 6 \times 9 \times \sin 30 = \frac{1}{2} \times 6 \times 9 \times \frac{1}{2} = 13.5\).
\(V = \frac{1}{3} \times 13.5 \times 12 = 54\) см³.

Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\), где \(S\) — площадь основания, а \(h\) — высота пирамиды. Для каждого варианта сначала находим площадь основания, используя соответствующую геометрическую формулу, а затем подставляем значения в формулу объёма.

В первом случае основание — квадрат со стороной 2 см. Площадь квадрата находится по формуле \(S = a^2\), где \(a\) — длина стороны. Подставляем: \(S = 2^2 = 4\) см². Высота пирамиды равна 2 см. Тогда объём равен \(V = \frac{1}{3} \times 4 \times 2 = \frac{8}{3}\) см³. Это означает, что объём занимает треть произведения площади основания и высоты.

Во втором примере основание — ромб с диагоналями 2 см и 3 см. Площадь ромба вычисляется по формуле \(S = \frac{1}{2} d_1 d_2\), где \(d_1\) и \(d_2\) — длины диагоналей. Подставляем: \(S = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3\) см². Высота пирамиды равна 10 см. Следовательно, объём равен \(V = \frac{1}{3} \times 3 \times 10 = 10\) см³.

В третьем случае основание — треугольник с двумя сторонами 6 см и 9 см, между которыми угол 30°. Площадь треугольника вычисляется по формуле \(S = \frac{1}{2} ab \sin \alpha\), где \(a\) и \(b\) — стороны, а \(\alpha\) — угол между ними. Подставляем: \(S = \frac{1}{2} \times 6 \times 9 \times \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \times 6 \times 9 \times \frac{1}{2} = 13.5\) см². Высота пирамиды равна 12 см, значит объём равен \(V = \frac{1}{3} \times 13.5 \times 12 = 54\) см³.