ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите объём правильной треугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 5 см и 10 см, а высота — 9 см.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2) \).

Площади оснований равны \( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 5^2 = \frac{25 \sqrt{3}}{4} \) и \( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 10^2 = \frac{100 \sqrt{3}}{4} \).

Подставляем в формулу: \( V = \frac{1}{3} \times 9 \times \left(\frac{25 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{25 \sqrt{3}}{4} \times \frac{100 \sqrt{3}}{4}} + \frac{100 \sqrt{3}}{4}\right) \).

Вычисляем корень: \( \sqrt{\frac{25 \sqrt{3}}{4} \times \frac{100 \sqrt{3}}{4}} = \frac{50 \sqrt{3}}{4} \).

Складываем: \( V = 3 \times \left(\frac{25 \sqrt{3}}{4} + \frac{50 \sqrt{3}}{4} + \frac{100 \sqrt{3}}{4}\right) = 3 \times \frac{175 \sqrt{3}}{4} = \frac{525 \sqrt{3}}{4} \).

Ответ: \( V = \frac{525 \sqrt{3}}{4} \) см³.

Объём усечённой пирамиды с треугольными основаниями находится по формуле \( V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2) \), где \( h \) — высота, \( S_1 \) и \( S_2 \) — площади нижнего и верхнего оснований соответственно. В данном случае основания — правильные треугольники со сторонами 5 см и 10 см. Чтобы найти площади, используем формулу площади правильного треугольника: \( S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \), где \( a \) — сторона треугольника. Для основания с длиной стороны 5 см площадь будет \( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 5^2 = \frac{25 \sqrt{3}}{4} \). Для второго основания со стороной 10 см площадь равна \( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 10^2 = \frac{100 \sqrt{3}}{4} \).

Далее подставляем найденные площади и высоту \( h = 9 \) см в формулу объёма. Получаем выражение \( V = \frac{1}{3} \times 9 \times \left(\frac{25 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{25 \sqrt{3}}{4} \times \frac{100 \sqrt{3}}{4}} + \frac{100 \sqrt{3}}{4}\right) \). Следующий шаг — вычислить корень из произведения площадей. Умножаем: \( \frac{25 \sqrt{3}}{4} \times \frac{100 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \times 100 \times 3}{16} = \frac{7500}{16} \). Корень из этого выражения равен \( \sqrt{\frac{7500}{16}} = \frac{\sqrt{7500}}{4} \). Корень из 7500 можно упростить: \( \sqrt{7500} = \sqrt{75 \times 100} = \sqrt{75} \times 10 = 5 \sqrt{3} \times 10 = 50 \sqrt{3} \). Значит, корень равен \( \frac{50 \sqrt{3}}{4} \).

Теперь складываем все слагаемые внутри скобок: \( \frac{25 \sqrt{3}}{4} + \frac{50 \sqrt{3}}{4} + \frac{100 \sqrt{3}}{4} = \frac{175 \sqrt{3}}{4} \). Умножаем на \( \frac{1}{3} \times 9 = 3 \), что даёт \( V = 3 \times \frac{175 \sqrt{3}}{4} = \frac{525 \sqrt{3}}{4} \). Таким образом, объём усечённой пирамиды равен \( \frac{525 \sqrt{3}}{4} \) см³.