ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно \(b\) и образует с высотой пирамиды угол \(\alpha\).

Боковое ребро \(b\) и угол \(\alpha\) между боковым ребром и высотой.

В треугольнике \(SOC\) \( \sin \alpha = \frac{OC}{b} \Rightarrow OC = b \sin \alpha \).

Сторона основания \(a = 2 OC = 2 b \sin \alpha\).

Площадь основания \(S = a^2 = 2b^2 \sin^2 \alpha\).

Высота \(H = b \cos \alpha\).

Объём пирамиды \(V = \frac{1}{3} S H = \frac{1}{3} \cdot 2 b^2 \sin^2 \alpha \cdot b \cos \alpha = \frac{2}{3} b^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha\).

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с боковым ребром \(b\) и углом \(\alpha\) между этим ребром и высотой пирамиды. Вершина пирамиды обозначена как \(S\), центр основания — \(O\), а середина стороны основания — \(C\). Треугольник \(SOC\) является прямоугольным, где \(SO\) — высота пирамиды, \(SC\) — боковое ребро, а \(OC\) — половина стороны основания.

Из определения угла \(\alpha\) между боковым ребром \(SC = b\) и высотой \(SO\) следует, что \(\sin \alpha = \frac{OC}{b}\). Отсюда можно выразить половину стороны основания: \(OC = b \sin \alpha\). Поскольку основание — квадрат, сторона основания равна \(a = 2 OC = 2 b \sin \alpha\). Это даёт нам полный размер основания через известные величины.

Далее найдём площадь основания \(S\). Поскольку основание — квадрат со стороной \(a\), площадь равна \(S = a^{2} = (2 b \sin \alpha)^{2} = 2 b^{2} \sin^{2} \alpha\). Высота пирамиды \(H\) выражается через угол \(\alpha\) и боковое ребро как \(H = b \cos \alpha\). Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S H\). Подставляя выражения для площади и высоты, получаем \(V = \frac{1}{3} \cdot 2 b^{2} \sin^{2} \alpha \cdot b \cos \alpha = \frac{2}{3} b^{3} \sin^{2} \alpha \cos \alpha\).