ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите объём правильного тетраэдра, ребро которого равно \(a\).

На фото представлена формула для объёма правильного тетраэдра с ребром длины \(a\):

\[
V = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot a^3
\]

**Ответ:** Объём правильного тетраэдра с ребром \(a\) равен \(\frac{\sqrt{2}}{12} a^3\).

Объём правильного тетраэдра можно найти, используя известную формулу, которая выражается через длину его ребра \(a\). Правильный тетраэдр — это трёхмерная фигура, состоящая из четырёх равносторонних треугольников. Для вычисления объёма такой фигуры необходимо учитывать особенности её геометрии. Формула для объёма содержит корень из числа 2 в числителе и число 12 в знаменателе, что связано с отношениями высоты и площади основания правильного тетраэдра.

В формуле объёма правильного тетраэдра длина ребра возводится в третью степень, то есть кубируется, что отражает зависимость объёма от линейного размера фигуры. Конкретно, объём \(V\) выражается как произведение куба ребра \(a^3\) на дробь \(\frac{\sqrt{2}}{12}\). Таким образом, формула записывается как \(V = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot a^3\). Это означает, что при увеличении длины ребра вдвое объём увеличится в восемь раз, поскольку объём пропорционален кубу ребра.

Эта формула является классическим результатом в геометрии, который можно вывести через вычисление высоты тетраэдра и площади его основания, а затем применить формулу объёма пирамиды \(V = \frac{1}{3} \times \text{площадь основания} \times \text{высота}\). В случае правильного тетраэдра площадь основания равна \(\frac{\sqrt{3}}{4} a^2\), а высота равна \(\frac{\sqrt{6}}{3} a\). Подставляя эти значения в формулу объёма и упрощая, получают именно выражение \(V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3\).