ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите объём правильной треугольной пирамиды, боковое ребро которой равно \(b\) и образует с плоскостью основания угол \(\alpha\).

Боковое ребро \(DC = b\) и угол с основанием \(\alpha\).

Из треугольника \(DOC\) по тангенсу: \(DO = OC \cdot \tan \alpha\).

По косинусу: \(OC = b \cos \alpha\), значит \(DO = b \cos \alpha \cdot \tan \alpha = b \sin \alpha\).

Радиус описанной окружности основания \(OC = \frac{a \sqrt{3}}{3}\), откуда \(a = \sqrt{3} b \cos \alpha\).

Площадь основания \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{4} b^2 \cos^2 \alpha\).

Объём пирамиды \(V = \frac{1}{3} S \cdot DO = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{4} b^2 \cos^2 \alpha \cdot b \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{4} b^3 \sin \alpha \cos^2 \alpha\).

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду с боковым ребром \(DC = b\) и углом \(\alpha\) между боковым ребром и плоскостью основания. Вершина пирамиды — точка \(D\), а основание — правильный треугольник с центром \(O\). Высота пирамиды \(DO\) перпендикулярна основанию. Чтобы найти объём, нужно вычислить площадь основания и высоту.

В треугольнике \(DOC\) угол при \(O\) равен \(\alpha\), а \(DO\) — высота пирамиды. По определению тангенса угла \(\alpha\) имеем \( \tan \alpha = \frac{DO}{OC} \), откуда высота \(DO = OC \cdot \tan \alpha\). При этом \(OC\) — проекция бокового ребра \(DC\) на основание. По определению косинуса угла \(\alpha\) \( \cos \alpha = \frac{OC}{b} \), значит \(OC = b \cos \alpha\). Подставляя в формулу для высоты, получаем \(DO = b \cos \alpha \cdot \tan \alpha = b \sin \alpha\).

Площадь основания — правильного треугольника со стороной \(a\). Радиус описанной окружности основания \(OC\) выражается через сторону \(a\) как \(OC = \frac{a \sqrt{3}}{3}\). Из равенства \(OC = b \cos \alpha\) следует \(a = \sqrt{3} b \cos \alpha\). Площадь основания вычисляется по формуле \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}\), подставляя \(a\), получаем \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} (\sqrt{3} b \cos \alpha)^{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{4} b^{2} \cos^{2} \alpha\).

Объём пирамиды равен \(V = \frac{1}{3} S \cdot DO\). Подставляя найденные значения площади основания и высоты, получаем \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{4} b^{2} \cos^{2} \alpha \cdot b \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{4} b^{3} \sin \alpha \cos^{2} \alpha\). Это и есть объём правильной треугольной пирамиды с заданными параметрами.