ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно \(b\), а плоский угол при вершине пирамиды равен \(\beta\). Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды \(V\) равен \( \frac{1}{3} S H \).

Площадь основания \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\), где \(a = b \sin \frac{\beta}{2}\).

Высота пирамиды \(H = b \sqrt{1 — \frac{4}{3} \sin^2 \frac{\beta}{2}}\).

Подставляя, получаем

\(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (b \sin \frac{\beta}{2})^2 \cdot b \sqrt{1 — \frac{4}{3} \sin^2 \frac{\beta}{2}} = \frac{1}{3} b^3 \sin^2 \frac{\beta}{2} \sqrt{3 — 4 \sin^2 \frac{\beta}{2}}\).

Объём правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S H\), где \(S\) — площадь основания, а \(H\) — высота пирамиды. В нашем случае основание — правильный треугольник, у которого сторона равна \(a\). Так как боковое ребро пирамиды равно \(b\), а плоский угол при вершине равен \(\beta\), то сторона основания связана с боковым ребром и углом через \(a = b \sin \frac{\beta}{2}\). Это происходит потому, что боковое ребро образует с основанием угол, половина которого равна \(\frac{\beta}{2}\).

Площадь правильного треугольника с длиной стороны \(a\) вычисляется по формуле \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\). Подставляя значение \(a = b \sin \frac{\beta}{2}\), получаем \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} (b \sin \frac{\beta}{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} b^2 \sin^2 \frac{\beta}{2}\). Таким образом, площадь основания выражена через боковое ребро и плоский угол.

Высота пирамиды \(H\) находится из треугольника, образованного боковым ребром и высотой. Высота равна \(H = b \cos \alpha\), где \(\alpha\) — угол между боковым ребром и высотой. Выражая через синус, получаем \(H = b \sqrt{1 — \sin^2 \alpha}\). Учитывая связь углов, высота вычисляется как \(H = b \sqrt{1 — \frac{4}{3} \sin^2 \frac{\beta}{2}}\). Подставляя всё в формулу объёма, получаем окончательное выражение \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} b^2 \sin^2 \frac{\beta}{2} \cdot b \sqrt{1 — \frac{4}{3} \sin^2 \frac{\beta}{2}} = \frac{1}{3} b^3 \sin^2 \frac{\beta}{2} \sqrt{3 — 4 \sin^2 \frac{\beta}{2}}\).