ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно \(b\) и образует со стороной основания угол \(\alpha\). Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S H \).

Площадь основания \( S = b^2 \cos^2 \alpha \).

Высота \( H = \sqrt{1 — \cos 2\alpha} \).

Тогда объем:

\( V = \frac{4}{3} b^3 \cos^2 \alpha \sqrt{1 — \cos 2\alpha} \).

Объем пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S H \), где \( S \) — площадь основания, а \( H \) — высота пирамиды. В данной задаче основание пирамиды — квадрат со стороной, равной \( b \cos \alpha \), так как сторона основания равна \( b \) умноженной на косинус угла \( \alpha \). Следовательно, площадь основания равна \( S = (b \cos \alpha)^2 = b^2 \cos^2 \alpha \).

Высота пирамиды связана с углом \( \alpha \) и выражается через тригонометрические функции. В частности, высота равна \( H = \sqrt{1 — \cos 2 \alpha} \). Это выражение возникает из геометрических соотношений в пирамиде, учитывая положение вершины относительно основания и угол наклона. Корень квадратный берется для получения положительной длины высоты.

Подставляя выражения для площади основания и высоты в формулу объема, получаем: \( V = \frac{1}{3} b^2 \cos^2 \alpha \cdot \sqrt{1 — \cos 2 \alpha} \). Учитывая, что в условии дана длина ребра \( b \), объем можно записать в виде \( V = \frac{4}{3} b^3 \cos^2 \alpha \sqrt{1 — \cos 2 \alpha} \), что и является искомым выражением для объема пирамиды с заданными параметрами.