ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами \(3\sqrt{10}\) см, \(3\sqrt{10}\) см и 6 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите объём пирамиды.

Найти полупериметр треугольника:

\( p = \frac{6\sqrt{10} + 6}{2} = 3\sqrt{10} + 3 \)

Вычислить площадь основания по формуле Герона:

\( S = \sqrt{(3\sqrt{10} + 3) \cdot 9 \cdot (3\sqrt{10} — 3)} = 27 \, \text{см}^2 \)

Найти объём пирамиды:

\( V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 12 = 108 \, \text{см}^3 \)

Для начала найдем полупериметр треугольника, который является основанием пирамиды. Полупериметр обозначается буквой \( p \) и рассчитывается как половина суммы всех сторон треугольника. В данном случае длины сторон выражены через числа и корни, поэтому вычисление выглядит так: \( p = \frac{6\sqrt{10} + 6}{2} \). При делении каждого слагаемого на 2 получаем \( p = 3\sqrt{10} + 3 \). Этот шаг важен, так как полупериметр используется для вычисления площади основания по формуле Герона.

Далее рассчитываем площадь основания \( S \) с помощью формулы Герона, которая позволяет найти площадь треугольника через полупериметр и длины сторон. Формула выглядит так: \( S = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)} \), где \( a, b, c \) — длины сторон треугольника. В условии подставлены конкретные значения, и после упрощения получается выражение \( S = \sqrt{(3\sqrt{10} + 3) \cdot 9 \cdot (3\sqrt{10} — 3)} \). Вычисление корня даёт результат \( 27 \, \text{см}^2 \), что является площадью основания пирамиды.

Наконец, для нахождения объёма пирамиды \( V \) используется формула \( V = \frac{1}{3} S h \), где \( S \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды. Подставляя известные значения, получаем \( V = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 12 \). Произведение даёт \( 324 \), а деление на 3 — окончательный результат \( 108 \, \text{см}^3 \). Таким образом, объём пирамиды равен \( 108 \, \text{см}^3 \).