ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и прилежащим к нему углом \(\alpha\). Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом \(\beta\). Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды \( V \) равен \(\frac{1}{3} S H\), где \(S\) — площадь основания, \(H\) — высота.

Площадь треугольника \( \triangle ABC \) равна \( \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} a \cdot a \tan \alpha = \frac{a^2 \tan \alpha}{2} \).

Высота \( SO = a \frac{\tan \beta}{2 \cos \alpha} \).

Тогда объем пирамиды:
\( V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \tan \alpha}{2} \cdot a \frac{\tan \beta}{2 \cos \alpha} = \frac{a^3 \tan \alpha \tan \beta}{12 \cos \alpha} \).

Объем пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S H \), где \( S \) — площадь основания, а \( H \) — высота пирамиды. В данной задаче основание — треугольник \( ABC \), у которого стороны равны \( a \), а углы заданы через тангенсы.

Площадь треугольника \( ABC \) можно найти по формуле \( S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin \gamma \). В условии используется выражение через тангенс угла \( \alpha \), поэтому площадь выражается как \( S = \frac{1}{2} a \cdot a \tan \alpha = \frac{a^2 \tan \alpha}{2} \). Это связано с тем, что высота треугольника выражается через сторону и тангенс угла, что удобно для дальнейших преобразований.

Высота пирамиды \( SO \) выражается через сторону \( a \), тангенс угла \( \beta \) и косинус угла \( \alpha \) по формуле \( SO = a \frac{\tan \beta}{2 \cos \alpha} \). Подставляя площадь основания и высоту в формулу объема, получаем
\( V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \tan \alpha}{2} \cdot a \frac{\tan \beta}{2 \cos \alpha} = \frac{a^3 \tan \alpha \tan \beta}{12 \cos \alpha} \).
Таким образом, объем пирамиды выражается через сторону основания и углы \( \alpha \) и \( \beta \) с помощью тригонометрических функций.