ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна \(b\). Угол между боковыми сторонами основания пирамиды равен \(\beta\). Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью её основания угол \(\alpha\). Найдите объём пирамиды.

Дано: найти объём \(V\).

Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S H\), где \(S\) — площадь основания, \(H\) — высота.

Площадь треугольного основания равна \(S = \frac{1}{2} b^2 \sin \beta\).

Высота \(H = b \tan \alpha\).

Подставляем в формулу объёма:

\(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} b^2 \sin \beta \cdot b \tan \alpha = \frac{1}{6} b^3 \sin \beta \tan \alpha\).

Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S H\), где \(S\) — площадь основания, а \(H\) — высота пирамиды. В данной задаче основание — треугольник, поэтому сначала нужно найти площадь этого треугольника. Площадь треугольника с двумя сторонами длины \(b\) и углом между ними \(\beta\) вычисляется по формуле \(S = \frac{1}{2} b^2 \sin \beta\). Здесь \(b^2\) — произведение двух равных сторон основания, а \(\sin \beta\) учитывает угол между ними, что даёт точную площадь треугольника.

Далее необходимо определить высоту пирамиды \(H\). Высота в данном случае равна \(b \tan \alpha\), где \(b\) — длина ребра, а \(\tan \alpha\) — тангенс угла \(\alpha\), который показывает отношение высоты к основанию в треугольнике, образующем высоту пирамиды. Это связано с тем, что высота пирамиды перпендикулярна основанию и может быть выражена через известные длину ребра и угол наклона.

Подставляя найденные выражения площади основания и высоты в формулу объёма, получаем \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} b^2 \sin \beta \cdot b \tan \alpha\). Упрощая, складываем множители: \(b^2 \cdot b = b^3\), и коэффициенты \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\). Итоговое выражение для объёма пирамиды: \(V = \frac{1}{6} b^3 \sin \beta \tan \alpha\). Таким образом, объём зависит от куба длины ребра основания, синуса угла \(\beta\) между сторонами основания и тангенса угла \(\alpha\), связанного с высотой.