ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является ромб со стороной \(a\) и углом \(\alpha\). Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны \(\beta\). Найдите объём пирамиды.

Объем пирамиды \(V\) равен \(\frac{1}{3} S H\).

Площадь основания \(S = a^2 \sin 2\alpha\).

Высота \(H = \frac{1}{2} a \sin \alpha \tan \beta\).

Подставляем:

\(V = \frac{1}{3} a^2 \sin 2\alpha \cdot \frac{1}{2} a \sin \alpha \tan \beta = \frac{1}{6} a^3 \sin^2 \alpha \tan \beta\).

Объем пирамиды находится по формуле \(V = \frac{1}{3} S H\), где \(S\) — площадь основания, а \(H\) — высота пирамиды. Чтобы найти объем, сначала определим площадь основания. В данном случае основание — параллелограмм, площадь которого вычисляется как \(S = a^2 \sin 2\alpha\), где \(a\) — сторона основания, а \(\alpha\) — угол между сторонами основания.

Далее нужно найти высоту пирамиды \(H\). Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. В задаче высота выражается через длину стороны основания и углы, и равна \(H = \frac{1}{2} a \sin \alpha \tan \beta\), где \(\beta\) — угол между боковой гранью и основанием. Здесь \(\sin \alpha\) отражает компоненту высоты, связанную с углом в основании, а \(\tan \beta\) учитывает наклон боковой грани.

Подставляя найденные выражения для площади основания и высоты в формулу объема, получаем: \(V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \sin 2\alpha \cdot \frac{1}{2} a \sin \alpha \tan \beta\). Упрощая, это равно \(V = \frac{1}{6} a^3 \sin^2 \alpha \tan \beta\). Таким образом, объем пирамиды зависит от куба стороны основания и произведения тригонометрических функций углов \(\alpha\) и \(\beta\), что отражает геометрическую структуру фигуры.