ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является трапеция, параллельные стороны которой равны 4 см и 10 см. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 45°, а объём пирамиды равен \(\frac{280}{3}\) см\(^3\). Найдите высоту пирамиды.

Дано: объем \( V = \frac{280}{3} \, \text{см}^3 \), площадь основания \( S = 28\sqrt{5} \, \text{см}^2 \).

Формула объема пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S H \).

Выразим высоту \( H \):

\( H = \frac{3V}{S} = \frac{3 \cdot \frac{280}{3}}{28\sqrt{5}} = \frac{280}{28\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \, \text{см} \).

Объем пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S H \), где \( V \) — объем, \( S \) — площадь основания, \( H \) — высота. В условии задачи нам дан объем пирамиды \( V = \frac{280}{3} \, \text{см}^3 \) и площадь основания \( S = 28\sqrt{5} \, \text{см}^2 \). Чтобы найти высоту \( H \), нужно эту формулу преобразовать и выразить \( H \) через известные величины.

Для этого умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби: \( 3V = S H \). Теперь разделим обе части на площадь основания \( S \), получим \( H = \frac{3V}{S} \). Подставим значения: \( H = \frac{3 \cdot \frac{280}{3}}{28\sqrt{5}} \). Умножение и деление на 3 сокращаются, и остается \( H = \frac{280}{28\sqrt{5}} \).

Далее упростим дробь: \( \frac{280}{28} = 10 \), значит \( H = \frac{10}{\sqrt{5}} \). Чтобы избавиться от иррационального знаменателя, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{5} \), получаем \( H = \frac{10 \sqrt{5}}{5} = 2 \sqrt{5} \). Таким образом, высота пирамиды равна \( 2 \sqrt{5} \, \text{см} \).