ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Грани \(DAB\) и \(DAC\) пирамиды \(DABC\) перпендикулярны основанию, а грань \(DBC\) наклонена к основанию под углом \(\beta\). Найдите объём пирамиды, если \(AB = BC = m\), \(\angle BAC = \alpha\).

Найти \(V\).

1. \(V = \frac{1}{3} S H\).

2. Площадь треугольника \(S_{ABC} = \frac{1}{2} m^2 \sin(180^\circ — 2\alpha) = \frac{1}{2} m^2 \sin 2\alpha\).

3. Объем \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{m^2 \sin 2\alpha}{2} \cdot m \sin 2\alpha \cdot \tan \beta = \frac{1}{6} m^3 \sin^2 2\alpha \tan \beta\).

Объем \(V\) пирамиды находится по формуле \(V = \frac{1}{3} S H\), где \(S\) — площадь основания, а \(H\) — высота пирамиды. В данном случае основание — треугольник \(ABC\), высота — отрезок \(DH\), проведённый перпендикулярно к плоскости основания.

Площадь треугольника \(ABC\) вычисляется через формулу \(S_{ABC} = \frac{1}{2} ab \sin \theta\), где \(a\) и \(b\) — стороны треугольника, а \(\theta\) — угол между ними. Здесь стороны равны \(m\), угол между ними равен \(180^\circ — 2\alpha\). Так как \(\sin(180^\circ — x) = \sin x\), то площадь \(S_{ABC} = \frac{1}{2} m^2 \sin 2\alpha\).

Высота пирамиды выражается через сторону \(m\), угол \(\beta\) и угол \(\alpha\). Высота равна \(m \sin 2\alpha \tan \beta\), что учитывает наклон пирамиды. Подставляя все значения в формулу объёма, получаем \(V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} m^2 \sin 2\alpha \times m \sin 2\alpha \tan \beta = \frac{1}{6} m^3 \sin^2 2\alpha \tan \beta\).