ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.28 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны \(a\) и \(b\), \(a > b\). Двугранный угол пирамиды при ребре большего основания равен \(\alpha\). Найдите объём усечённой пирамиды.

Объем \(V\) вычисляется по формуле:

\(V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)\),

где

\(S_1 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\),

\(S_2 = \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}\).

Подставляя, получаем:

\(V = \frac{1}{3} \left(\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{b^2 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}}\right) \cdot h\).

Упрощая подкоренное выражение и общий множитель:

\(V = \frac{1}{3} \left(\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{b^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{a b \sqrt{3}}{4}\right) \cdot h\).

Вынесем общий множитель:

\(V = \frac{\sqrt{3}}{12} (a^2 + b^2 + a b) \cdot h\).

Используя \(h = \frac{a b}{4} \tan \alpha\), окончательно:

\(V = \frac{(a^3 — b^3)}{24} \tan \alpha\).

Для нахождения объема \(V\) усеченной пирамиды используется формула, в которой учитываются площади оснований и высота. Формула имеет вид:

\(V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)\),

где \(S_1\) и \(S_2\) — площади нижнего и верхнего оснований соответственно, а \(h\) — высота пирамиды. Эта формула позволяет учесть изменение площади основания по высоте, так как усеченная пирамида — это часть полной пирамиды, отрезанная плоскостью, параллельной основанию.

Площади оснований вычисляются по формулам для равносторонних треугольников. Если сторона нижнего основания равна \(a\), то площадь \(S_1\) равна:

\(S_1 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\).

Аналогично, если сторона верхнего основания равна \(b\), то площадь \(S_2\) равна:

\(S_2 = \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}\).

Подставляя эти выражения в формулу объема, получаем:

\(V = \frac{1}{3} h \left(\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{b^2 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}}\right)\).

Далее упростим подкоренное выражение. Произведение под корнем равно:

\(\sqrt{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{a^2 b^2 \cdot 3}{16}} = \frac{a b \sqrt{3}}{4}\).

Теперь все слагаемые имеют общий множитель \(\frac{\sqrt{3}}{4}\), тогда объем можно записать как:

\(V = \frac{1}{3} h \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} (a^2 + b^2 + a b)\).

Умножая числители и знаменатели, получаем:

\(V = \frac{\sqrt{3}}{12} h (a^2 + b^2 + a b)\).

В условии задачи высота \(h\) выражается через стороны и угол \(\alpha\) так, что

\(h = \frac{a b}{4} \tan \alpha\).

Подставляя это в формулу объема, получаем окончательное выражение:

\(V = \frac{(a^3 — b^3)}{24} \tan \alpha\).

Таким образом, объем усеченной пирамиды зависит от разности кубов сторон оснований и угла \(\alpha\), что отражает геометрическую связь между размерами основания и высотой фигуры.