ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.3 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является прямоугольник, стороны которого относятся как 2 : 3, высота пирамиды равна 5 см, а объём — 90 см\(^3\). Найдите периметр основания пирамиды.

Основание прямоугольника со сторонами \(a = 2x\) и \(b = 3x\). Объём пирамиды \(V = \frac{1}{3} S h\), где \(S = a \cdot b = 2x \cdot 3x = 6x^2\).

Подставляем: \(90 = \frac{1}{3} \cdot 6x^2 \cdot 5\).

Упрощаем: \(90 = 10x^2\), значит \(x^2 = 9\), откуда \(x = 3\).

Стороны основания: \(a = 6\), \(b = 9\).

Периметр основания: \(P = 2(a + b) = 2(6 + 9) = 30\).

Пусть стороны основания прямоугольника равны \(a\) и \(b\), при этом известно отношение \(a : b = 2 : 3\). Это значит, что можно ввести переменную \(x\) и записать \(a = 2x\), \(b = 3x\). Таким образом, стороны основания выражаются через одну переменную, что упрощает дальнейшие вычисления.

Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\), где \(S\) — площадь основания, а \(h\) — высота пирамиды. Площадь основания прямоугольника равна произведению его сторон, то есть \(S = a \cdot b = 2x \cdot 3x = 6x^2\). Подставляя значения площади и высоты \(h = 5\) см в формулу объёма, получаем уравнение \(90 = \frac{1}{3} \cdot 6x^2 \cdot 5\), где 90 — заданный объём пирамиды.

Упростим уравнение: \(\frac{1}{3} \cdot 6x^2 \cdot 5 = 10x^2\), значит уравнение принимает вид \(90 = 10x^2\). Отсюда находим \(x^2 = \frac{90}{10} = 9\), следовательно, \(x = 3\). Теперь подставляем найденное значение \(x\) обратно, чтобы определить стороны основания: \(a = 2 \cdot 3 = 6\) см, \(b = 3 \cdot 3 = 9\) см. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле \(P = 2(a + b)\), то есть \(P = 2(6 + 9) = 2 \cdot 15 = 30\) см.