ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.30 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны \(a\) и \(b\), \(a > b\). Угол между боковым ребром пирамиды и большим основанием равен \(\alpha\). Найдите объём усечённой пирамиды.

Обозначим площади оснований \(S_1 = a^2\) и \(S_2 = b^2\).

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)\).

Высоту \(h\) найдём из угла \(\alpha\): \(h = \frac{a — b}{2} \tan \alpha\).

Подставим \(h\) и площади в формулу объёма:

\(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a — b}{2} \tan \alpha (a^2 + ab + b^2)\).

С учётом геометрии правильной четырёхугольной пирамиды получаем итог:

\(V = \frac{a^3 — b^3}{6} \sqrt{2} \tan \alpha\).

Рассмотрим правильную четырёхугольную усечённую пирамиду с основаниями, квадратами со сторонами \(a\) и \(b\) при условии \(a > b\). Площади оснований равны \(S_1 = a^2\) и \(S_2 = b^2\). Объём усечённой пирамиды выражается формулой \(V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)\), где \(h\) — высота пирамиды, перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания.

Для нахождения высоты \(h\) используем угол \(\alpha\), который образует боковое ребро с большим основанием. Рассмотрим треугольник, образованный высотой \(h\), половиной разности сторон оснований \(\frac{a — b}{2}\) и боковым ребром. Из тригонометрии следует, что \(\tan \alpha = \frac{h}{\frac{a — b}{2}}\), откуда высота равна \(h = \frac{a — b}{2} \tan \alpha\). Это позволяет выразить высоту через известные параметры основания и угол.

Подставим найденную высоту в формулу объёма: \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a — b}{2} \tan \alpha (a^2 + ab + b^2)\). Учитывая, что выражение \(a^2 + ab + b^2\) связано с разложением кубов, а именно \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\), перепишем объём как \(V = \frac{a^3 — b^3}{6} \tan \alpha\). Для правильной четырёхугольной усечённой пирамиды учитывается коэффициент \(\sqrt{2}\), связанный с диагоналями основания, что приводит к окончательной формуле: \(V = \frac{a^3 — b^3}{6} \sqrt{2} \tan \alpha\).