ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.31 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 12 см, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен 60°. Высота пирамиды разделена на 3 равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Найдите объём усечённой пирамиды, заключённой между этими плоскостями.

Основание — правильный шестиугольник со стороной \(a=12\). Площадь основания \(S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 = 216 \sqrt{3}\).

Высота пирамиды \(H = 12 \sqrt{3}\), делится на 3 части по \(\frac{H}{3} = 4 \sqrt{3}\).

Масштабы сечений: \(k_1 = \frac{2}{3}\), \(k_2 = \frac{1}{3}\).

Площади сечений: \(S_1 = 216 \sqrt{3} \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 96 \sqrt{3}\), \(S_2 = 216 \sqrt{3} \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 24 \sqrt{3}\).

Объём усечённой пирамиды \(V = \frac{1}{3} \times \frac{H}{3} \times (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)\).

Вычисляем \(\sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{96 \sqrt{3} \times 24 \sqrt{3}} = 48 \sqrt{3}\).

Подставляем: \(V = \frac{1}{3} \times 4 \sqrt{3} \times (96 \sqrt{3} + 48 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3}) = \frac{4}{3} \times 168 \times 3 = 336 \sqrt{3}\).

Ответ: \(V = 336 \sqrt{3} \text{ см}^3\).

Основание пирамиды — правильный шестиугольник со стороной \(a=12\). Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле \(S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^{2}\). Подставляя \(a=12\), получаем \(S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 12^{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 144 = 216 \sqrt{3}\). Эта площадь является площадью основания полной пирамиды.

Высота пирамиды связана с двугранным углом при ребре основания, который равен \(60^\circ\). Для правильной шестиугольной пирамиды высота равна \(H = a \sqrt{3}\), то есть \(H = 12 \sqrt{3}\). Высота делится на три равные части, каждая длиной \(\frac{H}{3} = 4 \sqrt{3}\). Через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию, которые образуют усечённую пирамиду между высотами \(\frac{H}{3}\) и \(\frac{2H}{3}\).

Площади сечений пирамиды изменяются пропорционально квадрату линейного масштаба. Для нижней плоскости масштаб равен \(k_1 = \frac{2}{3}\), для верхней — \(k_2 = \frac{1}{3}\). Тогда площади сечений равны \(S_1 = 216 \sqrt{3} \times \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = 96 \sqrt{3}\) и \(S_2 = 216 \sqrt{3} \times \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = 24 \sqrt{3}\). Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} \times \frac{H}{3} \times (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)\). Корень \(\sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{96 \sqrt{3} \times 24 \sqrt{3}} = \sqrt{96 \times 24 \times 3} = 48 \sqrt{3}\). Подставляя значения, получаем \(V = \frac{1}{3} \times 4 \sqrt{3} \times (96 \sqrt{3} + 48 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3}) = \frac{4}{3} \times 168 \times 3 = 336 \sqrt{3}\).

Ответ: \(V = 336 \sqrt{3} \text{ см}^{3}\).