ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.33 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если в многогранник, площадь поверхности которого равна \(S\), вписан шар радиусом \(r\), то объём \(V\) этого многогранника можно найти по формуле \(V = \frac{1}{3} Sr\).

Если в многогранник вписан шар, то радиус вписанного шара \(r\) равен высоте \(h\) усечённой пирамиды, образующей многогранник.

Объём многогранника можно представить как сумму объёмов пирамид с общей высотой \(h = r\) и основаниями, составляющими поверхность многогранника с площадью \(S\).

Объём пирамиды равен \(V = \frac{1}{3} S h\).

Подставляя \(h = r\), получаем формулу для объёма многогранника:

\(V = \frac{1}{3} S r\).

Если в многогранник вписан шар радиусом \(r\), это означает, что шар касается всех граней многогранника изнутри. Радиус этого шара равен расстоянию от центра шара до каждой грани, то есть радиусу вписанного шара \(r\). При этом высота пирамид, на которые можно разбить многогранник, равна именно этому радиусу \(r\).

Многогранник можно рассматривать как объединение нескольких пирамид, каждая из которых имеет основание — одну из граней многогранника, а высоту — радиус вписанного шара \(r\). Площадь всех граней вместе взятых равна \(S\). Объём каждой пирамиды равен \(\frac{1}{3}\) произведения площади основания на высоту. Складывая объёмы всех таких пирамид, получаем объём всего многогранника.

Таким образом, объём многогранника \(V\) равен сумме объёмов всех пирамид, что даёт формулу \(V = \frac{1}{3} S r\), где \(S\) — площадь поверхности многогранника, а \(r\) — радиус вписанного шара. Эта формула показывает прямую связь между объёмом, площадью поверхности и радиусом вписанного шара.