ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.34 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Каждое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно \(a\). Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Радиус вписанного шара правильной четырёхугольной пирамиды с ребром \(a\) равен

\(R = \frac{a(\sqrt{6} — \sqrt{2})}{4}\).

Это выражение получается из соотношений в правильной четырёхугольной пирамиде, учитывая её геометрические свойства и формулы для радиуса вписанной сферы.

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду, у которой все ребра равны \(a\). Такая пирамида имеет квадрат в основании и вершину, расположенную над центром основания. Для нахождения радиуса вписанного шара \(R\) нужно учитывать, что этот шар касается всех граней пирамиды и основания.

Радиус вписанного шара равен расстоянию от центра шара до любой грани пирамиды. Центр вписанного шара находится на высоте, где расстояния до основания и боковых граней равны. Высоту пирамиды можно выразить через ребро \(a\), используя свойства правильной четырёхугольной пирамиды и теорему Пифагора. В частности, высота \(h\) связана с ребром и диагональю основания, которая равна \(a\sqrt{2}\).

Формула для радиуса вписанного шара получается из анализа треугольников и соотношений между высотой, апофемой и радиусом вписанной окружности основания. В итоге радиус вписанного шара выражается как \(R = \frac{a(\sqrt{6} — \sqrt{2})}{4}\), что отражает разницу между высотой и апофемой, делённую на 2, с учётом длины ребра \(a\).