ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.35 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является квадрат со стороной 5 см. Одно из боковых рёбер пирамиды, равное 12 см, является высотой пирамиды. Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Обозначим радиус вписанного шара как \(r\).

Пусть центр шара находится на высоте \(r\) от основания и на расстоянии \(r\) от боковых граней.

Так как основание — квадрат со стороной 5 см, расстояние от центра основания до стороны равно \( \frac{5}{2} = 2.5 \) см.

Высота пирамиды равна 12 см, а высота до центра шара — \(12 — r\).

Из подобия треугольников получаем пропорцию:

\[
\frac{r}{2.5} = \frac{12 — r}{12}
\]

Решаем уравнение:

\[
12r = 2.5 (12 — r)
\]

\[
12r = 30 — 2.5r
\]

\[
12r + 2.5r = 30
\]

\[
14.5r = 30
\]

\[
r = \frac{30}{14.5} \approx 2.07
\]

Округляя, получаем \(r \approx 2\) см.

Ответ: радиус вписанного шара равен 2 см.

Рассмотрим правильную квадратную пирамиду с основанием в виде квадрата со стороной 5 см и высотой 12 см. В такую пирамиду вписана сфера, которая касается основания и всех боковых граней. Нам необходимо найти радиус этой вписанной сферы, обозначим его как \(r\). Для этого важно понять, где именно расположен центр вписанной сферы и как он связан с размерами пирамиды.

Центр вписанной сферы лежит на оси пирамиды, проходящей через центр основания и вершину. Поскольку сфера касается основания, расстояние от центра сферы до основания равно радиусу \(r\). Также сфера касается боковых граней, которые являются равнобедренными треугольниками, образованными высотой и сторонами основания. Расстояние от центра сферы до каждой боковой грани также равно \(r\), так как сфера касается этих граней. Таким образом, центр сферы находится на высоте \(r\) от основания и на расстоянии \(r\) от каждой боковой грани.

Чтобы найти \(r\), рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через центр основания и вершину, которое будет равнобедренным треугольником. В этом сечении основание равно стороне квадрата, то есть 5 см, а высота равна 12 см. Расстояние от центра основания до стороны квадрата равно половине стороны, то есть \( \frac{5}{2} = 2.5 \) см. Центр сферы находится на высоте \(r\) от основания, а до боковой грани расстояние также равно \(r\). По подобию треугольников можно записать пропорцию: отношение радиуса \(r\) к расстоянию от центра основания до стороны квадрата равно отношению высоты от центра сферы до вершины пирамиды \(12 — r\) к полной высоте пирамиды 12. Это выражается формулой \( \frac{r}{2.5} = \frac{12 — r}{12} \).

Решим это уравнение. Перемножим крест-накрест: \(12r = 2.5(12 — r)\). Раскроем скобки: \(12r = 30 — 2.5r\). Перенесем все члены с \(r\) в одну сторону: \(12r + 2.5r = 30\), что даёт \(14.5r = 30\). Теперь найдём \(r\), разделив обе части уравнения на 14.5: \(r = \frac{30}{14.5} = \frac{60}{29} \approx 2.07\) см. Округляя, получаем радиус вписанной сферы равным 2 см.