ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.36 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Расстояние от вершины основания правильной треугольной пирамиды до противоположной боковой грани равно \(d\), а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\). Найдите объём пирамиды.

Обозначим сторону основания правильной треугольной пирамиды за \(a\), высоту пирамиды за \(h\).

Расстояние от вершины основания до противоположной боковой грани равно \(d\). Это расстояние равно высоте треугольника, образованного высотой пирамиды и ребром основания, умноженной на \(\sin \alpha\), то есть

\(d = h \sin \alpha\).

Отсюда высота пирамиды

\(h = \frac{d}{\sin \alpha}\).

Площадь основания правильного треугольника

\(S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\).

Двугранный угол при ребре основания \(\alpha\) связан с углом между боковой гранью и основанием, через косинус:

\(\cos \alpha = \frac{h}{\text{высота боковой грани}}\).

Для правильной треугольной пирамиды

\(\cos \alpha = \frac{h}{\frac{\sqrt{3}}{2} a}\),

откуда

\(a = \frac{2 h \cos \alpha}{\sqrt{3}} = \frac{2 d \cos \alpha}{\sqrt{3} \sin \alpha}\).

Объем пирамиды

\(V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot h\).

Подставляя \(a\) и \(h\):

\(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{2 d \cos \alpha}{\sqrt{3} \sin \alpha}\right)^2 \cdot \frac{d}{\sin \alpha} = \frac{d^3 \sqrt{3} \cos^2 \alpha}{27 \sin^3 \alpha}\).

Ответ:

\(V = \frac{d^3 \sqrt{3} \cos^2 \alpha}{27 \sin^3 \alpha}\).

Правильная треугольная пирамида имеет основание в виде правильного треугольника со стороной \(a\) и высоту \(h\), проведённую из вершины пирамиды к плоскости основания. Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\), где \(S\) — площадь основания, а \(h\) — высота пирамиды.

Площадь основания равна площади правильного треугольника с длиной стороны \(a\), то есть \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}\). Для нахождения объёма необходимо выразить \(a\) и \(h\) через известные величины — расстояние \(d\) от вершины основания до противоположной боковой грани и двугранный угол \(\alpha\) при ребре основания.

Расстояние \(d\) от вершины основания до противоположной боковой грани — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость этой грани. Геометрически это равно высоте треугольника, образованного высотой пирамиды \(h\) и ребром основания, умноженной на синус угла \(\alpha\), то есть \(d = h \sin \alpha\). Отсюда высота пирамиды равна \(h = \frac{d}{\sin \alpha}\).

Двугранный угол \(\alpha\) при ребре основания связан с углом между боковой гранью и основанием. В правильной треугольной пирамиде боковая грань — равнобедренный треугольник, и высота боковой грани равна \(\frac{\sqrt{3}}{2} a\). Косинус угла \(\alpha\) равен отношению высоты пирамиды \(h\) к высоте боковой грани, то есть \(\cos \alpha = \frac{h}{\frac{\sqrt{3}}{2} a}\). Отсюда выражаем сторону основания: \(a = \frac{2 h \cos \alpha}{\sqrt{3}} = \frac{2 d \cos \alpha}{\sqrt{3} \sin \alpha}\).

Подставляя выражения \(a\) и \(h\) в формулу объёма, получаем

\(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{2 d \cos \alpha}{\sqrt{3} \sin \alpha}\right)^{2} \cdot \frac{d}{\sin \alpha} = \frac{d^{3} \sqrt{3} \cos^{2} \alpha}{27 \sin^{3} \alpha}\).

Таким образом, объём пирамиды выражается формулой

\(V = \frac{d^{3} \sqrt{3} \cos^{2} \alpha}{27 \sin^{3} \alpha}\).