ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.37 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна \(a\), а двугранный угол пирамиды при её боковом ребре равен \(\alpha\). Найдите объём пирамиды.

Обозначим сторону основания \(a\), площадь основания \(S = a^2\).

Высота пирамиды выражается через двугранный угол \(\alpha\) при боковом ребре.

Объём пирамиды равен \(V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} a^2 h\).

Используя геометрию пирамиды, получаем высоту \(h = \frac{a \sqrt{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \sqrt{-\cos \alpha}}\).

Подставляя \(h\) в формулу объёма, получаем
\(V = \frac{a^3 \sqrt{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{6 \sqrt{-\cos \alpha}}\).

Основание пирамиды — правильный четырёхугольник со стороной \(a\), значит площадь основания равна \(S = a^2\). Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S h\), где \(h\) — высота пирамиды. Для нахождения объёма нужно выразить высоту через известные параметры, включая двугранный угол \(\alpha\) при боковом ребре.

Рассмотрим боковую грань пирамиды. Боковое ребро является общим ребром двух треугольных граней, и двугранный угол \(\alpha\) — угол между этими гранями. Высота пирамиды опускается перпендикулярно к основанию, а апофема боковой грани связана с высотой и стороной основания. При правильном четырёхугольнике апофема равна расстоянию от вершины пирамиды до середины стороны основания. Геометрические соотношения позволяют выразить высоту через сторону \(a\) и угол \(\alpha\) как \(h = \frac{a \sqrt{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \sqrt{-\cos \alpha}}\).

Подставляя выражение для высоты в формулу объёма, получаем итоговую формулу
\(V = \frac{1}{3} a^2 \cdot \frac{a \sqrt{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \sqrt{-\cos \alpha}} = \frac{a^3 \sqrt{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{6 \sqrt{-\cos \alpha}}\).
Эта формула учитывает зависимость объёма пирамиды от стороны основания и двугранного угла при боковом ребре.