ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.38 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота правильной треугольной пирамиды равна \(H\), а двугранный угол пирамиды при её боковом ребре равен \(\alpha\). Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды находится по формуле \( V = \frac{1}{3} S \cdot H \), где \(S\) — площадь основания, \(H\) — высота.

Площадь основания правильного треугольника со стороной \(a\) равна \( S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \).

Используя двугранный угол \(\alpha\) при боковом ребре, объём выражается как \( V = \frac{a^3 \sqrt{3}}{4} \left( 3 \tan^2 \frac{\alpha}{2} — 1 \right) \).

Объём правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S \cdot H \), где \(S\) — площадь основания, а \(H\) — высота пирамиды. Основание пирамиды — правильный треугольник, поэтому для вычисления площади основания используем формулу площади правильного треугольника через сторону \(a\): \( S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} \). Это позволяет выразить площадь основания через длину ребра пирамиды.

Двугранный угол \(\alpha\) при боковом ребре пирамиды связан с углами и высотой пирамиды. Через этот угол можно выразить длину стороны основания и высоту пирамиды, используя тригонометрические соотношения. В частности, учитывая геометрию пирамиды, объём можно выразить через сторону основания \(a\) и угол \(\alpha\) как \( V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} \left( 3 \tan^{2} \frac{\alpha}{2} — 1 \right) \). Здесь \(\tan \frac{\alpha}{2}\) появляется из соотношений между высотой и боковыми ребрами.

Таким образом, объём пирамиды зависит от куба стороны основания и функции тангенса половины двугранного угла при боковом ребре. Формула учитывает как площадь основания, так и высоту, выраженную через угол \(\alpha\). Итоговая формула даёт точное значение объёма пирамиды через её геометрические параметры: \( V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} \left( 3 \tan^{2} \frac{\alpha}{2} — 1 \right) \).