ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.39 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной \(a\) и углом \(\alpha\) при основании. Боковая грань пирамиды, содержащая основание равнобедренного треугольника, перпендикулярна плоскости этого треугольника, а две другие грани наклонены к ней под углом \(\beta\). Найдите объём пирамиды.

Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с боковой стороной \(a\) и углом при основании \(2\alpha\).

Площадь основания равна \(S = \frac{1}{2} a^2 \sin 2\alpha\).

Высота пирамиды \(H = \frac{1}{2} a \sin 2\alpha \tan \beta\), так как боковая грань с основанием перпендикулярна плоскости основания, а две другие грани наклонены под углом \(\beta\).

Объём пирамиды \(V = \frac{1}{3} S H = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a^2 \sin 2\alpha \cdot \frac{1}{2} a \sin 2\alpha \tan \beta = \frac{1}{12} a^3 \sin^2 2\alpha \tan \beta\).

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной \(a\) и углом при основании \(2\alpha\). Для вычисления площади этого треугольника используем формулу площади через две стороны и синус угла между ними. Так как треугольник равнобедренный, его площадь равна \(S = \frac{1}{2} a^2 \sin 2\alpha\). Здесь угол \(2\alpha\) — это угол между боковыми сторонами треугольника, а \(a\) — длина боковой стороны.

Высота пирамиды определяется положением боковых граней. Одна из боковых граней, содержащая основание, перпендикулярна плоскости основания, значит высота пирамиды равна высоте этой грани. Две другие боковые грани наклонены к этой плоскости под углом \(\beta\). Высота пирамиды \(H\) равна произведению высоты бокового треугольника на тангенс угла \(\beta\), то есть \(H = \frac{1}{2} a \sin 2\alpha \tan \beta\). Здесь \(\frac{1}{2} a \sin 2\alpha\) — высота основания, а \(\tan \beta\) — отношение высоты наклонных граней к высоте перпендикулярной грани.

Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S H\). Подставляя выражения для площади основания и высоты, получаем \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a^2 \sin 2\alpha \cdot \frac{1}{2} a \sin 2\alpha \tan \beta\). Упрощая, получаем \(V = \frac{1}{12} a^3 \sin^2 2\alpha \tan \beta\). Таким образом, объём пирамиды зависит от куба боковой стороны \(a\), квадрата синуса угла при основании и тангенса угла наклона боковых граней.