ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.40 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и прилежащим к нему углом \(\alpha\). Боковая грань пирамиды, содержащая большую сторону основания, перпендикулярна плоскости основания, а две другие грани наклонены к ней под углом \(\beta\). Найдите объём пирамиды.

Обозначим объём пирамиды \(V\), площадь основания \(S\), высоту \(H\).

1. Объём пирамиды \(V = \frac{1}{3} S H\).

2. Площадь основания — прямоугольного треугольника с катетом \(a\) и углом \(\alpha\):
\(S = \frac{1}{2} a^2 \tan \alpha\).

3. Высоту \(H\) выразим через \(a\), \(\alpha\), \(\beta\):
\(H = \frac{a \sqrt{2} \sin \alpha \tan \beta}{2 \cos(45^\circ — \alpha)}\).

4. Подставим в формулу объёма:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a^2 \tan \alpha \cdot \frac{a \sqrt{2} \sin \alpha \tan \beta}{2 \cos(45^\circ — \alpha)} = \frac{a^3 \sqrt{2} \sin \alpha \tan \alpha \tan \beta}{12 \cos(45^\circ — \alpha)}.
\]

Объём пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S H\), где \(S\) — площадь основания, а \(H\) — высота пирамиды. В данном случае основание — прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и углом \(\alpha\), прилежащим к этому катету. Для нахождения площади основания воспользуемся формулой площади прямоугольного треугольника через катет и угол: \(S = \frac{1}{2} a^2 \tan \alpha\). Здесь \(\tan \alpha\) — тангенс угла \(\alpha\), что позволяет выразить второй катет через первый и угол.

Высота пирамиды определяется из условия, что одна из боковых граней, содержащая большую сторону основания, перпендикулярна плоскости основания. Это значит, что высота \(H\) лежит на этой боковой грани и направлена перпендикулярно основанию. Две другие боковые грани наклонены к этой перпендикулярной грани под углом \(\beta\). На рисунке высота выражается через длину стороны, углы \(\alpha\) и \(\beta\), и тригонометрические функции. Конкретно высота равна \(H = \frac{a \sqrt{2} \sin \alpha \tan \beta}{2 \cos(45^\circ — \alpha)}\). Здесь \(\sqrt{2}\) появляется из соотношений в треугольнике, а \(\cos(45^\circ — \alpha)\) учитывает наклон боковых граней.

Подставляя найденные выражения площади основания и высоты в формулу объёма, получаем: \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a^2 \tan \alpha \cdot \frac{a \sqrt{2} \sin \alpha \tan \beta}{2 \cos(45^\circ — \alpha)}\). Упрощая, это даёт \(V = \frac{a^3 \sqrt{2} \sin \alpha \tan \alpha \tan \beta}{12 \cos(45^\circ — \alpha)}\). Таким образом, объём пирамиды выражается через катет \(a\) основания и углы \(\alpha\), \(\beta\) с помощью тригонометрических функций, что соответствует решению на фото.