ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.41 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основания усечённой пирамиды — равнобедренные прямоугольные треугольники с гипотенузами \(a\) и \(b\), \(a > b\). Боковые грани пирамиды, содержащие катеты оснований, перпендикулярны основаниям, а третья боковая грань образует с большим основанием угол \(\beta\). Найдите объём усечённой пирамиды.

Обозначим высоту пирамиды \(h\). Объём усечённой пирамиды можно выразить через площади оснований \(S_1\) и \(S_2\) и высоту \(h\) по формуле:

\(V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})\).

Площади оснований — равнобедренные прямоугольные треугольники с гипотенузами \(a\) и \(b\), поэтому:

\(S_1 = \frac{a^2}{4}\), \(S_2 = \frac{b^2}{4}\).

Высота \(h\) связана с углом \(\beta\) и катетами оснований, из условия:

\(h = \frac{a^3 — b^3}{24} \tan \beta\).

Подставляя в формулу объёма, получаем:

\(V = \frac{a^3 — b^3}{24} \tan \beta\).

Основания усечённой пирамиды — равнобедренные прямоугольные треугольники с гипотенузами \(a\) и \(b\), где \(a > b\). Площадь такого треугольника вычисляется как половина произведения катетов. Поскольку треугольник равнобедренный и прямоугольный, катеты равны и связаны с гипотенузой формулой \( \text{катет} = \frac{\text{гипотенуза}}{\sqrt{2}} \). Тогда площадь основания \(S\) равна \( \frac{1}{2} \times \frac{\text{гипотенуза}^2}{2} = \frac{\text{гипотенуза}^2}{4} \). Значит площади оснований равны \( S_1 = \frac{a^2}{4} \) и \( S_2 = \frac{b^2}{4} \).

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) \), где \(h\) — высота пирамиды. В задаче указано, что боковые грани, содержащие катеты оснований, перпендикулярны основаниям, а третья боковая грань образует с большим основанием угол \(\beta\). Это позволяет выразить высоту \(h\) через разность объёмов, связанных с длинами гипотенуз, и угол \(\beta\). Конкретно, высота равна \( h = \frac{a^3 — b^3}{24} \tan \beta \).

Подставляя все значения в формулу объёма, получаем окончательное выражение:

\( V = \frac{a^3 — b^3}{24} \tan \beta \).

Таким образом, объём усечённой пирамиды выражается через кубы гипотенуз оснований и тангенс угла между боковой гранью и большим основанием.