ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.42 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основания усечённой пирамиды — квадраты со сторонами \(a\) и \(b\), \(a > b\). Одна из боковых граней пирамиды является равнобокой трапецией и перпендикулярна основаниям, а противолежащая ей грань образует с большим основанием угол \(\alpha\). Найдите объём усечённой пирамиды.

Обозначим площади оснований: \(S_1 = a^2\), \(S_2 = b^2\).

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:
\(V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})\).

Высота \(h\) выражается через угол \(\alpha\) и разность сторон:
\(h = (a — b) \tan \alpha\).

Подставляя, получаем:
\(V = \frac{(a^3 — b^3)}{3} \tan \alpha\).

Основания усечённой пирамиды — квадраты со сторонами \(a\) и \(b\), где \(a > b\). Площадь большего основания равна \(S_1 = a^2\), а площадь меньшего основания равна \(S_2 = b^2\). Для нахождения объёма усечённой пирамиды используется формула объёма усечённой пирамиды, которая учитывает площади оснований и высоту \(h\):
\(V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})\).

Высота \(h\) усечённой пирамиды связана с углом \(\alpha\), который образует одна из боковых граней с большим основанием. Поскольку одна из боковых граней является равнобокой трапецией и перпендикулярна основаниям, высота пирамиды равна длине боковой стороны, умноженной на тангенс угла \(\alpha\). В данном случае высота выражается как разность сторон оснований, умноженная на \(\tan \alpha\):
\(h = (a — b) \tan \alpha\).

Подставляя выражение для высоты \(h\) и площади оснований \(S_1\) и \(S_2\) в формулу объёма, получаем:
\(V = \frac{1}{3} (a — b) \tan \alpha (a^2 + b^2 + ab)\).
Используя формулу разности кубов, \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\), можно упростить выражение для объёма до:
\(V = \frac{a^3 — b^3}{3} \tan \alpha\).