ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.43 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основания усечённой пирамиды — правильные треугольники со сторонами \(a\) и \(b\), \(a > b\). Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна основаниям, а две другие образуют с большим основанием угол \(\alpha\). Найдите объём усечённой пирамиды.

Обозначим площади оснований через \(S_1\) и \(S_2\), где

\(S_1 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\), \(S_2 = \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}\).

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

\(V = \frac{1}{3} h \left(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}\right)\).

Высота \(h\) связана с углом \(\alpha\) и разностью сторон оснований, учитывая перпендикулярность одной боковой грани.

В итоге объём можно выразить как:

\(V = \frac{(a^3 — b^3) \tan \alpha}{16}\).

Объём усечённой пирамиды можно найти, используя формулу объёма пирамиды через площади оснований и высоту. Основаниями являются правильные треугольники со сторонами \(a\) и \(b\), где \(a > b\). Площадь правильного треугольника со стороной \(a\) равна \(S_1 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\), а площадь меньшего основания со стороной \(b\) равна \(S_2 = \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}\).

Объём усечённой пирамиды выражается формулой

\(V = \frac{1}{3} h \left(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}\right)\),

где \(h\) — высота усечённой пирамиды. В условии задачи указано, что одна из боковых граней перпендикулярна основаниям, а две другие образуют с большим основанием угол \(\alpha\). Это позволяет связать высоту \(h\) с углом \(\alpha\) и длинами сторон оснований.

Используя геометрические соотношения и свойства правильных треугольников, получаем, что высота \(h\) связана с разностью объёмов треугольных призм с основаниями \(a\) и \(b\), а также с тангенсом угла \(\alpha\). В итоге объём усечённой пирамиды можно записать в виде

\(V = \frac{(a^3 — b^3) \tan \alpha}{16}\).