ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.45 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Большая диагональ прямоугольной трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 9 см и 15 см, а большая боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.

В трапеции \( BC = CD \), значит \( DB \) — биссектриса.

Отношение высоты: \( \frac{CD}{HD} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} \). Пусть \( CD = 5x \), \( HD = 3x \), тогда \( ED = 8x \).

По теореме Пифагора:
\( (8x)^2 = (5x)^2 + 24^2 \),
\( 64x^2 = 25x^2 + 576 \),
\( 39x^2 = 576 \),
\( x = 6 \).

Тогда \( BC = 30 \), \( ED = 48 \), площадь:
\( S = \frac{30 + 48}{2} \times 24 = 936 \).

В трапеции дано, что \( BC = CD \), следовательно, отрезок \( DB \) является биссектрисой угла при вершине \( D \). Это важно, потому что биссектриса делит угол на два равных угла и создает определённое соотношение между сторонами и высотами, что мы будем использовать для решения задачи.

Дано отношение высот, проведённых из точки \( H \): \( \frac{CD}{HD} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} \). Пусть \( CD = 5x \), тогда \( HD = 3x \). Поскольку \( ED = CD + HD \), то \( ED = 5x + 3x = 8x \). Теперь нужно найти \( x \), чтобы определить конкретные длины сторон.

Используем теорему Пифагора в треугольнике \( CHD \), где \( CH \) — высота, равная 24 см. По теореме Пифагора:
\( ED^{2} = CD^{2} + CH^{2} \),
то есть
\( (8x)^{2} = (5x)^{2} + 24^{2} \),
что даёт
\( 64x^{2} = 25x^{2} + 576 \),
откуда
\( 64x^{2} — 25x^{2} = 576 \),
\( 39x^{2} = 576 \),
\( x^{2} = \frac{576}{39} \),
\( x^{2} = 36 \),
следовательно,
\( x = 6 \).

Теперь найдём длины:
\( CD = 5x = 30 \),
\( HD = 3x = 18 \),
\( ED = 8x = 48 \).

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
\( S = \frac{BC + ED}{2} \times OH \),
где \( BC = 30 \), \( ED = 48 \), \( OH = 24 \),
поэтому
\( S = \frac{30 + 48}{2} \times 24 = \frac{78}{2} \times 24 = 39 \times 24 = 936 \, \text{см}^{2} \).