ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.46 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и параллельной каждому из векторов \(\vec{a} (-4; 6; 5)\) и \(\vec{b} (-2; 4; 3)\).

Плоскость проходит через начало координат, значит уравнение будет вида \(Ax + By + Cz = 0\).

Векторы \(\vec{a}(-4; 6; 5)\) и \(\vec{b}(-2; 4; 3)\) лежат в плоскости, значит нормальный вектор плоскости перпендикулярен обоим.

Найдем нормальный вектор как векторное произведение:
\(\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 6 & 5 \\ -2 & 4 & 3 \end{vmatrix}\).

Вычисляем:
\(A = 6 \cdot 3 — 5 \cdot 4 = 18 — 20 = -2\),
\(B = -( -4 \cdot 3 — 5 \cdot (-2)) = -(-12 + 10) = 2\),
\(C = -4 \cdot 4 — 6 \cdot (-2) = -16 + 12 = -4\).

Уравнение плоскости:
\(-2x + 2y — 4z = 0\).

Умножим на \(-1\) для удобства:
\(2x — 2y + 4z = 0\).

Разделим на 2:
\(x — y + 2z = 0\).

Плоскость, проходящая через начало координат, имеет уравнение вида \(Ax + By + Cz = 0\), где вектор \((A; B; C)\) — нормальный вектор плоскости. Чтобы найти это уравнение, нужно определить нормаль, перпендикулярную плоскости. Поскольку плоскость параллельна векторам \(\vec{a}(-4; 6; 5)\) и \(\vec{b}(-2; 4; 3)\), то нормальный вектор будет перпендикулярен обоим этим векторам. Для этого используется векторное произведение.

Векторное произведение \(\vec{a} \times \vec{b}\) вычисляется по правилу детерминанта:
\(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 6 & 5 \\ -2 & 4 & 3 \end{vmatrix}\).
Раскроем этот детерминант по первой строке:
Компонента при \(\vec{i}\) равна \(6 \cdot 3 — 5 \cdot 4 = 18 — 20 = -2\),
при \(\vec{j}\) равна \(-(-4 \cdot 3 — 5 \cdot (-2)) = -(-12 + 10) = 2\),
при \(\vec{k}\) равна \(-4 \cdot 4 — 6 \cdot (-2) = -16 + 12 = -4\).
Таким образом, нормальный вектор \(\vec{n} = (-2; 2; -4)\).

Подставляем компоненты нормального вектора в уравнение плоскости:
\(-2x + 2y — 4z = 0\).
Для удобства умножим уравнение на \(-1\), получим:
\(2x — 2y + 4z = 0\).
Делим на 2, чтобы упростить коэффициенты:
\(x — y + 2z = 0\).
Это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через начало координат и параллельной векторам \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).