ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.5 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 5 см, а боковое ребро — 13 см. Найдите объём пирамиды.

Объём пирамиды \( V = \frac{1}{3} S h \).

Площадь основания правильного шестиугольника \( S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 5^2 = \frac{75 \sqrt{3}}{2} \).

Высота пирамиды \( h = \sqrt{l^2 — \left(\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 — \left(\frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{169 — \frac{75}{4}} = \sqrt{\frac{676 — 75}{4}} = \frac{\sqrt{601}}{2} \).

Подставляем в формулу объёма:

\( V = \frac{1}{3} \cdot \frac{75 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{601}}{2} = \frac{75 \sqrt{3} \sqrt{601}}{12} = 162{,}5 \sqrt{3} \).

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна \(a = 5\) см, а боковое ребро \(l = 13\) см. Нужно найти объём пирамиды \(V\).

1. Формула объёма пирамиды имеет вид \(V = \frac{1}{3} S h\), где \(S\) — площадь основания, а \(h\) — высота пирамиды.

Основание — правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника с длиной стороны \(a\) равна \(S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2\). Подставляем \(a = 5\):

\[
S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 5^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 25 = \frac{75 \sqrt{3}}{2}.
\]

2. Чтобы найти высоту пирамиды \(h\), нужно рассмотреть треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и боковым ребром. Высота \(h\) — это перпендикуляр из вершины пирамиды на плоскость основания. Боковое ребро \(l = 13\) см — это гипотенуза треугольника, одна катет — высота \(h\), другой — расстояние от центра основания до середины стороны основания.

Расстояние от центра правильного шестиугольника до середины стороны равно \(\frac{a \sqrt{3}}{2}\). Подставим \(a=5\):

\[
\frac{5 \sqrt{3}}{2}.
\]

Используем теорему Пифагора для нахождения высоты:

\[
h = \sqrt{l^2 — \left(\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 — \left(\frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{169 — \frac{75}{4}}.
\]

Приводим подкоренное выражение к общему знаменателю:

\[
169 = \frac{676}{4}, \quad \sqrt{\frac{676}{4} — \frac{75}{4}} = \sqrt{\frac{601}{4}} = \frac{\sqrt{601}}{2}.
\]

3. Теперь подставим значения площади основания и высоты в формулу объёма:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot \frac{75 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{601}}{2} = \frac{75 \sqrt{3} \sqrt{601}}{12} = 162{,}5 \sqrt{3}.
\]

Таким образом, объём пирамиды равен \(162{,}5 \sqrt{3}\) кубических сантиметров.