ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.7 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен 60°. Найдите объём пирамиды.

Площадь основания \(S = 4^2 = 16\).

Высота пирамиды \(h = 2 \tan 60^\circ = 2 \sqrt{3}\).

Объём \(V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2 \sqrt{3} = \frac{32 \sqrt{3}}{3}\).

Основание пирамиды — правильный четырёхугольник, то есть квадрат со стороной 4 см. Для вычисления объёма сначала найдём площадь основания. Площадь квадрата вычисляется по формуле \(S = a^{2}\), где \(a\) — длина стороны. Подставляя значение, получаем \(S = 4^{2} = 16\) см².

Далее определим высоту пирамиды. Двугранный угол при ребре основания равен 60 градусов. Этот угол — угол между боковой гранью и плоскостью основания. Высота пирамиды — это перпендикуляр от вершины пирамиды к плоскости основания. Рассмотрим треугольник, образованный высотой, половиной стороны основания и ребром боковой грани. В этом треугольнике угол между высотой и половиной стороны основания равен 60°. Значит, высота связана с половиной стороны основания через тангенс этого угла: \( \tan 60^\circ = \frac{h}{\frac{a}{2}} \). Подставляя значения, имеем \( \tan 60^\circ = \frac{h}{2} \), откуда высота \( h = 2 \tan 60^\circ = 2 \sqrt{3} \) см.

Объём пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S h \). Подставляя найденные значения площади основания и высоты, получаем \( V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2 \sqrt{3} = \frac{32 \sqrt{3}}{3} \) см³. Таким образом, объём пирамиды равен \( \frac{32 \sqrt{3}}{3} \) кубических сантиметров.