ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 18.8 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите объём пирамиды.

Обозначим сторону основания \(a = 6\). Площадь основания правильного треугольника \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9 \sqrt{3}\).

Радиус описанной окружности основания \(R = \frac{a \sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3}\).

Боковое ребро образует с основанием угол 45°, значит длина бокового ребра \(l = \frac{R}{\cos 45^\circ} = 2 \sqrt{6}\).

Высота пирамиды \(H = l \sin 45^\circ = 2 \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{3}\).

Объем пирамиды \(V = \frac{1}{3} S H = \frac{1}{3} \cdot 9 \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{3} = 18\).

Ответ: \(18 \text{ см}^3\).

Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной \(a = 6\). Площадь такого треугольника вычисляется по формуле \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}\). Подставляя значение, получаем \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9 \sqrt{3}\). Эта площадь будет основанием пирамиды, от которой зависит объем.

Рассмотрим боковое ребро пирамиды, которое образует угол 45° с плоскостью основания. Для правильной треугольной пирамиды центр основания совпадает с точкой проекции вершины на основание. Расстояние от центра основания до любой вершины основания равно радиусу описанной окружности треугольника, который вычисляется по формуле \(R = \frac{a \sqrt{3}}{3}\). Подставляя \(a = 6\), получаем \(R = \frac{6 \sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3}\). Это расстояние является проекцией бокового ребра на плоскость основания.

Длина бокового ребра \(l\) связана с радиусом основания и высотой пирамиды \(H\) через прямоугольный треугольник, где \(l\) — гипотенуза, \(R\) — один катет, а \(H\) — другой. Из условия угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°, следовательно, \(\cos 45^\circ = \frac{R}{l}\). Отсюда \(l = \frac{R}{\cos 45^\circ} = \frac{2 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{6}\). Высота пирамиды равна \(H = l \sin 45^\circ = 2 \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{3}\).

Объем пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S H\). Подставляя значения, получаем \(V = \frac{1}{3} \cdot 9 \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 3 = 18\). Таким образом, объем пирамиды равен 18 см³.