ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 19.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Осевое сечение конуса является равносторонним треугольником, а радиус основания конуса равен \(R\). Найдите объём конуса.

Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник со стороной \(2R\).

Высота треугольника \(h = \sqrt{(2R)^2 — R^2} = R\sqrt{3}\).

Высота конуса равна высоте треугольника \(h = R\sqrt{3}\).

Объём конуса \(V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot R\sqrt{3} = \frac{1}{3} \pi R^3 \sqrt{3}\).

Осевое сечение конуса — это равносторонний треугольник, у которого все стороны равны. В данном случае сторона этого треугольника равна диаметру основания конуса, то есть \(2R\). Поскольку радиус основания равен \(R\), то диаметр будет в два раза больше — \(2R\). Это важно, так как именно эта длина задаёт основание равностороннего треугольника.

Для нахождения высоты равностороннего треугольника используем теорему Пифагора. Высота \(h\) делит треугольник на два прямоугольных треугольника с катетами \(h\) и \(R\), а гипотенузой является сторона \(2R\), делённая пополам, то есть \(R\). Тогда высота равна \(h = \sqrt{(2R)^2 — R^2} = \sqrt{4R^2 — R^2} = \sqrt{3R^2} = R \sqrt{3}\). Эта высота соответствует высоте конуса, так как осевое сечение проходит через вершину конуса и центр основания.

Объём конуса вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} \pi R^2 h\). Подставляя найденную высоту \(h = R \sqrt{3}\), получаем \(V = \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot R \sqrt{3} = \frac{1}{3} \pi R^3 \sqrt{3}\). Таким образом, объём конуса выражается через радиус основания и корень из трёх, умноженный на константу \(\frac{1}{3} \pi\).